En algèbre, l'anneau des polynômes formels (à une indéterminée) est un ensemble contenant des nombres, comme les entiers, les réels ou les complexes, et un objet supplémentaire, souvent noté X. Tous les éléments de l'anneau de polynômes s'additionnent et se multiplient : on trouve des polynômes comme 2X, X ou encore X – X – 1. De plus, une propriété importante est que les polynômes 1, X, X, X... sont linéairement indépendants, c'est-à-dire qu'aucune combinaison linéaire non triviale de ces polynômes n'est nulle. L'objet de cet article est de présenter une construction rigoureuse de cet ensemble et en particulier de l'objet X, appelé indéterminée.
Cette construction met en lumière les propriétés des éléments de cet ensemble, noté A[X], éléments qui sont appelés polynômes. On retrouve les propriétés qui caractérisent les nombres entiers, par exemple l'addition et la multiplication qui sont associatives et commutatives. Il existe un élément neutre pour l'addition et la multiplication des polynômes, mais si pour l'addition, tout polynôme possède un symétrique, tel n'est pas le cas pour la multiplication. L'élément X ne possède pas d'inverse, autrement dit 1/X n'est pas un polynôme.
L'ensemble des nombres, appelés coefficients, est noté A. Il peut être choisi comme l'un des ensembles de nombres cités ou encore comme n'importe quel anneau commutatif. L'ensemble des coefficients des polynômes peut être, par exemple, constitué de polynômes ou d'éléments d'un corps fini.
Il existe d'autres constructions plus générales d'anneaux de polynômes, comme celles traitées dans « Polynôme en plusieurs indéterminées » ou dans « Anneau non commutatif de polynômes ».
Préambule right|thumb|Le livre Arithmetica de Diophante est le premier à décrire l'ajout d'une lettre à un ensemble de nombres. Éléments d'histoire L'idée d'associer une lettre à un ensemble de nombres date du . Diophante définit la lettre S (la lettre grecque sigma) ainsi : La première inconnue par l'IREM de Poitiers p. 27.. Il ne travaille que sur les nombres entiers et les rationnels. Il définit les règles d'addition et de multiplication : Paul Ver Eecke, Diophante d'Alexandrie. Les Six Livres Arithmétiques et le Livre des Nombres Polygones, Liège, Desclée de Brouwer, 1926, p. 2., ce qui signifie que S4 est divisible par S et que le résultat vaut S3. Cette idée est petit à petit généralisée aux nombres irrationnels par la civilisation arabe, à l'origine de notre choix. de la lettre X. Si la construction est rudimentaire, elle permet aux mathématiciens de la Renaissance de résoudre toutes les équations jusqu'au degré 4, mais nous sommes cependant encore loin d'une construction rigoureuse, au sens de cet article. Au , Viète utilise pour la première fois le terme de polynôme, au sens décrit dans l'introduction..
Au apparaît un premier formalisme, celui des fonctions.. La variable x remplace la lettre X et le polynôme devient une fonction. Cet apport se traduit en résultats concrets, il permet de montrer le théorème de d'Alembert-Gauss qui assure l'existence d'autant de racines que le degré du polynôme, dans l'ensemble des nombres complexes.
Une question de Vandermonde, un mathématicien du , finit par remettre à l'honneur le concept de polynôme formel, qui fait usage d'une lettre X qui s'additionne et se multiplie, mais qui n'est pas une fonction. Il cherche sans succès à résoudre l'équation cyclotomique à l'aide de radicauxA. T. Vandermonde, Mémoire sur la résolution des équations, Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris, 1771., c'est-à-dire de nombres rationnels, de l'unité imaginaire , des quatre opérations adjointes et des fonctions racine nièmes. C'est finalement Gauss qui y parvientC. F. Gauss, Recherches arithmétiques, 1801, trad. Antoine Charles Marcelin Poullet-Delisle, éd. Courcier, 1807, p. 429-489. à l'aube du . Pour cela il considère les polynômes, non comme des fonctions, mais comme des équivalents de nombres entiers, avec une division euclidienne, l'équivalent des nombres premiers et une décomposition unique en facteurs premiers. Il utilise pour cela des polynômes à coefficients dans les congruences, issues de l'arithmétique modulaire. Si les coefficients du polynôme sont choisis dans les congruences, les fonctions polynomiales et les polynômes formels diffèrent. Et seul l'aspect formel permet de conclure dans ce cas particulier.
Ce n'est qu'au que le besoin de rigueur fait apparaître la construction présentée dans cet article.
Polynôme vu comme une suite
Il existe différentes méthodes pour représenter un polynôme en propose plusieurs., la plus classique est la suivante, illustrée sur deux polynômes exemples P et Q :
Cette écriture peut être rapprochée de celle de l'écriture décimale positionnelle des nombres 101101 et 951, qui peuvent se voir commeCe rapprochement est proposé dans Opérations arithmétiques et algèbre des polynômes par M. Delord, membre du (GRIP) groupe de réflexion interdisciplinaire sur les programmes. :
+ X5 X4 X3 X2 X 1 P 1 0 1 1 0 1 Q 9 5 1 P+Q 1 0 1 10 5 2 × X7 X6 X5 X4 X3 X2 X 1 P 1 0 1 1 0 1 Q 9 5 1 1 0 1 1 0 1 5 0 5 5 0 5 9 0 9 9 0 9 P×Q 9 5 10 14 6 10 5 1
Comme l'addition et la multiplication des polynômes suivent presque les mêmes lois que celles des nombres, il peut être pratique, pour additionner et multiplier P et Q de faire usage d'un tableau. C'est ainsi qu'al-Samaw'al, un mathématicien arabe du , représente les polynômes, comme illustré sur la figure de gauche.. Sous forme de tableaux, et en utilisant les méthodes classiques d'addition et de multiplication sur les nombres, on obtient :
Les lois de l'addition et de la multiplication sont presque les mêmes, la seule différence réside dans les retenues, qui n'existent pas avec les polynômes. Cette manière de voir un polynôme amène à l'usage d'une écriture condensée. Sous cette forme, un polynôme peut être vu comme une suite. Pour des raisons de commodité, il est plus simple de noter la suite à l'envers, c'est-à-dire en commençant par le coefficient de 1, puis celui de X etc. Avec ce système de notation :
Ce système est à l'origine de la construction formelle des polynômes exposée ici.
Construction A désigne un anneau (unitaire) commutatif. Polynôme Avec la logique du préambule, un polynôme est défini de la manière suivante :
Un polynôme P est ainsi, dans le cas général, une suite (p0, p1, p2,..., pk...) d'éléments de A, que l'on note aussi (p). Nulle à partir d'un certain rang signifie qu'il existe un entier N tel que si n est plus grand que N, alors pn est égal à 0.
L'ensemble de tous les polynômes ainsi défini est alors noté A[X].
On dispose d'une première propriété, correspondant à une tautologie de la définition :
Polynômes particuliers (monômes)
La suite nulle est appelée polynôme nul.
Un monôme est un polynôme dont tous les coefficients sont nuls, sauf, au plus, l'un d'entre eux. Un monôme non nul, correspondant à la suite nulle (0,0,...) sauf en un unique indice k, est appelé « monôme de degré k ». Cette seule valeur non nulle de la suite est appelée le coefficient du monôme.
Le monôme (0, 0, 0, ... , p, 0, 0, ...) est appelé monôme de degré k du polynôme (p0, p1, p2, ... , p, ...). Le monôme non nul et de plus grand degré d'un polynôme est appelé monôme dominant et si le monôme dominant possède un coefficient égal à 1, le polynôme est dit unitaire.
Addition et multiplications À l'image des ensembles de nombres, l'intérêt des polynômes réside dans l'existence d'une addition et d'une multiplication. Ces opérations correspondent à la description du préambule. De manière formelle, l'addition se définit par :
Pour vérifier que la somme est bien définie, il faut s'assurer que la suite P + Q est bien nulle à partir d'un certain rang. Si la suite définissant P est nulle à partir du rang m et si celle définissant Q est nulle à partir du rang n, on remarque bien que la suite définissant P + Q est nulle à partir du rang égal au maximum de m et de n.
Il existe deux multiplications, la première est dite externe et correspond à la multiplication d'un nombre élément de A et d'un polynôme. C'est un exemple de multiplication d'un vecteur par un scalaire.
De même que l'addition des polynômes correspond à l'addition des suites, la multiplication scalaire correspond à la multiplication scalaire des suites. Il est une fois encore aisé de vérifier que le résultat est encore une suite nulle, à partir d'un certain rang.
La deuxième multiplication correspond au produit de deux polynômes. Elle est calquée sur le produit décrit dans le préambule :
Cette définition correspond exactement au calcul du préambule. Le coefficient d'indice 0 de PQ est le produit des coefficients d'indice 0 de P et de Q. Le coefficient d'indice 1 de PQ est la somme de deux termes : le produit du coefficient d'indice 0 de P et du coefficient d'indice 1 de Q pour le premier, le produit du coefficient d'indice 1 de P et du coefficient d'indice 0 de Q pour le second. Une fois encore les deux définition concordent. Il en est de même pour tous les coefficients.
Vérifier que le produit est bien une suite nulle à partir d'un certain rang n'est pas très difficile. Si la suite P est nulle à partir du rang p, que la suite Q est nul à partir du rang q et que r est un entier plus grand que p + q, le coefficient d'indice r dans la suite PQ est une somme de produits dont un (au moins) des facteurs est toujours nul, ce qui montre que le polynôme PQ est une suite nulle à partir de l'indice p + q.
Indéterminée On dispose de deux notations différentes pour les polynômes, soit à l'aide du symbole X, soit par les suites. Une unique définition permet de rendre ces deux notations cohérentes. Elle concerne l'objet symbolisé par la lettre X :
Avec cette définition, si n est un entier strictement positif, la suite nulle partout, sauf pour l'indice n où elle vaut 1, est égale à Xn, d'après la règle de multiplication de l'anneau. Pour généraliser cette propriété, on définit le polynôme X0 comme étant égal à la suite nulle partout, sauf pour l'indice 0 où elle vaut 1. Ce qui permet de disposer de la règle :
Considérons le polynôme P du préambule. Il correspond à la suite (1,0,1,1,0,1,0,...) ; on peut l'écrire de la manière suivante :
Dans le cas général, un polynôme P, égal à (p0, p1, p2,..., pn,0 ,...) s'écrit de manière équivalente :
Avec cette nouvelle définition, un monôme est un polynôme de la forme aXn, où a est un élément de A appelé coefficient du monôme et n un entier positif, appelé degré du monôme.
L'ensemble A[X] ressemble maintenant à celui couramment utilisé en mathématiques et appelé anneau des polynômes. La lettre X symbolise maintenant un objet rigoureusement défini.
La définition de l'indéterminée diffère selon le contexte. On en trouve une plus générale dans l'article « Polynôme en plusieurs indéterminées ». Si la définition de l'indéterminée pour les séries formelles est analogue à celle présentée ici, les analystes utilisent parfois une convention différente page 9 (nouveau tirage juin 1985)., l'indéterminée est la lettre X et selon les besoins, cette lettre désigne soit le polynôme formel décrit ici, soit la variable x qui transforme l'objet série formelle en une fonction analytique.
Polynômes constants La notation (1) n'est pas totalement usuelle. En général, on ne trouve pas le facteur X0 dans l'expression d'un polynômeOn trouve le formalisme habituel, par exemple, dans .. Pour comprendre pourquoi il peut être omis, il est nécessaire d'étudier l'application φ de A dans A[X], qui à « a » associe le polynôme « aX0 ». Un peu de vocabulaire est utile :