En géométrie, un polygone de Petrie est donné par la projection orthogonale d'un polyèdre (ou même d'un polytope au sens général) sur un plan, de sorte à former un polygone régulier, avec tout le reste de la projection à l’intérieur. Ces polygones et graphes projetés sont utiles pour visualiser la structure et les symétries de polytopes aux nombreuses dimensions.

Chaque paire de côtés consécutifs appartient à une même face du polyèdre, mais pas trois. Cette définition s'étend aux polytopes de dimensions supérieures : chaque groupe de n – 1 côtés consécutifs appartient à une même hyperface du polytope, mais pas n.

Le polygone de Petrie d'un polygone régulier est lui-même, car il est déjà dans le plan de projection.

Histoire

John Flinders Petrie, fils unique de l'égyptologue Flinders Petrie, naquit en 1907. Il montra à l'école de remarquables aptitudes en mathématiques. En se concentrant, il pouvait répondre aux questions sur des objets quadridimensionnels en les visualisant mentalement.

Il fut le premier à réaliser l'importance des polygones visibles seulement sous un certain angle par transparence, et dont les sommets n'étaient pas coplanaires, sur la surface des polyèdres et des polytopes des dimensions au-dessus. Il fut un grand ami de Coxeter, qui nomma ces polygones en son honneur. L'idée des polygones de Petrie a été étendue bien plus tard aux polytopes semi-réguliers.

En 1972, quelques mois après sa retraite, Petrie fut tué par une voiture alors qu'il essayait de traverser une grande route à côté de sa maison dans le Surrey.

Polygones de Petrie des polyèdres réguliers Les seuls polyèdres réguliers convexes sont les cinq solides de Platon. Le polygone de Petrie d'un polyèdre régulier {p, q} (voir symbole de Schläfli) possède h côtés, où

Les polyèdres duaux, {p, q} et {q, p}, sont donc contenus par les mêmes polygones de Petrie.

+ Polygones de Petrie pour les polyèdres réguliers (en rouge)tétraèdrecubeoctaèdredodécaèdreicosaèdrecentré sur une arêtecentré sur un sommetcentré sur une facecentré sur une facecentré sur un sommet4 côtés6 côtés6 côtés10 côtés10 côtésV:(4,0)V:(6,2)V:(6,0)V:(10,10,0)V:(10,2)

Les polygones de Petrie sont les bords (en rouge) de ces projections orthogonales. Les lignes bleues représentent les arêtes de devant, et les lignes noires les arêtes de derrière.

Les sommets, qui sont sur des cercles concentriques, sont comptés par "couches" à partir de l'extérieur jusqu'à l'intérieur, par la notation du polygone de Petrie : V:(a,b,...) avec un 0 à la fin si la couche centrale est vide.

Polygones de Petrie des polytopes réguliers de dimensions supérieures

Les polygones de Petrie pour les polychores réguliers {p, q, r} (voir symbole de Schläfli) peuvent également être déterminés.

Les polychores duaux {p, p, q} et {p, q, q} sont contenus par les mêmes polygones de Petrie.

+Polygones de Petrie des 6 polychores réguliers (polytopes réguliers à 4 dimensions){3,3,3}pentachore (4-simplexe)5 côtésV:(5,0){3,3,4}hexadécachore (4-hyperoctaèdre)8 côtésV:(8,0){4,3,3}tesseract (4-hypercube)8 côtésV:(8,8,0){3,4,3}24-cellules12 côtésV:(12,12,0){5,3,3}120-cellules30 côtésV:(30,60,30,606,30,60,30,0){3,3,5}600-cellules30 côtésV:(30,30,30,30,0)

Ensuite, comme l'a démontré Ludwig Schläfli, il n'y a pas plus de 3 polytopes réguliers par dimension, et cela dès la cinquième. Ces trois n-polytopes réguliers appartiennent respectivement à 3 grandes familles de polytopes : les n-simplexes, les hyperoctaèdres et les hypercubes.

Le polygone de Petrie pour un polytope régulier {p, q, r, … , w} peut aussi être déterminé.

La famille des simplexes

Dans la famille des simplexes, tout n-simplexe est projeté dans un polygone à n + 1 côtés, avec les sommets à la périphérie.

Pour un simplexe, toutes les diagonales du polygone de Petrie sont tracées.

Les simplexes sont des polytopes auto-duaux : chaque simplexe est son propre dual, car la permutation des 3 de sa notation de Schläfli {3,3,3,...,3} est invariante.

+Polygones de Petrie des n-simplexesn = 1{}segment1-simplexe2 côtés (le segment est alors considéré en tant que digone)V:(2,0)n = 2{3}triangle2-simplexe3 côtésV:(3,0)n = 3{3,3}tétraèdre3-simplexe4 côtésV:(4,0)n = 4{33}Pentachore4-simplexe5 côtésV:(5,0)n = 5{34}5-simplexe6 côtésV:(6,0)n = 6{35}6-simplexe7 côtésV:(7,0)n = 7{36}7-simplexe8 côtésV:(8,0)n = 8{37}8-simplexe9 côtésV:(9,0)n = 9{38}9-simplexe10 côtésV:(10,0)n = 10{39}10-simplexe11 côtésV:(11,0)

La famille des hypercubes Dans la famille des hypercubes, tout n-hypercube est projeté dans un polygone à 2n côtés.

Les duaux respectifs des hypercubes {4,3,3,3,...,3} sont les hyperoctaèdres {3,3,3,...,3,4}.

+Polygones de Petrie des hypercubesn = 1{}segment (digone)2 côtésV:(2,0)n=2{4}carré4 côtésV:(4,0)n = 3{4,3}cube6 côtésV:(6,2)n = 4{4,32}tesseract8 côtésV:(8,8,0)n = 5{4,33}penteract10 côtésV:(10,10,10,2)n = 6{4,34}hexéract12 côtés V:(12,12,24,12,4)n = 7{4,35heptéract14 côtés V:(14,14,28,145,2)n = 8{4,36}octéract16 côtés V:(162,322,16,32,162,32,163,0)n = 9{4,37}ennéract18 côtés V:(182,365,18,362,72,18,36,182,36,8)n = 10{4,38}décaract20 côtés V:(202,402,20,402,20,40,20,403,(20,40,20,402)2,202,403,202,40,202,4)

La famille des hyperoctaèdres Dans la famille des hyperoctaèdres, tout n-octaèdre est projeté dans un polygone de Petrie à 2n côtés.

Les duaux respectifs des hyperoctaèdres {3,3,3,...,3,4} sont les hypercubes {4,3,3,3,...,3}.

+Polygones de Petrie des hyperoctaèdresn = 1{}2 côtésV:(2,0)n = 2{4}carré4 côtésV:(4,0)n = 3{3,4}octaèdre6 côtésV:(6,0)n = 4{32,4} 16-cellules8 côtésV:(8,0)n = 5{33,4}penta-croisé10 côtésV:(10,0)n = 6{34,4}hexa-croisé12 côtésV:(12,0)n = 7{35,4}hepta-croisé14 côtésV:(14,0)n = 8{36,4}octa-croisé16 côtésV:(16,0)n = 9{37,4}ennéa-croisé18 côtésV:(18,0)n = 10{38,4}déca-croisé20 côtésV:(20,0)

Références , dont les références étaient : H. S. M. Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover, 1999 H.S.M. Coxeter, Regular complex polytopes, 1974, Section 4.3 Flags and Orthoschemes, Section 11.3 Petrie polygons H.S.M. Coxeter, Regular polytopes, éd., New York, Dover, 1973 (sec 2.6 Petrie Polygons p. 24-25 et Chapter 12, p. 213-235, The generalized Petrie polygon) H.S.M. Coxeter, Regular complex polytopes, 1974.

Liens externes

Petrie