La réduction de la variance regroupe l'ensemble des techniques, plus ou moins simples, qui permettent de réduire la variance des estimateurs de Monte-Carlo.
Méthodes de réduction de la variance
Il existe plusieurs méthodes pour réduire la variance de l'estimateur: Variable antithétique : on introduit une seconde variable aléatoire très fortement négativement corrélée avec la première, permettant de réduire la variance. L'élément clef est la formule suivante, valable pour deux variables :
Variable de contrôle : on introduit une variable tierce, dite variable de contrôle, et on construit une nouvelle classe d'estimateurs, dépendant d'un paramètre c. On cherche la valeur du paramètre c permettant de réaliser une réduction de variance, par rapport à l'estimation Monte-Carlo de base ;
L'échantillonnage préférentiel (ou en anglais) : lors du tirage de données aléatoires, certaines valeurs ont plus d'importance que d'autres dans l'évaluation de l'espérance/intégrale. L'idée est donc d'abandonner l'échantillonnage uniforme (selon la loi uniforme continue) pour un échantillonnage selon une autre loi, plus appropriée.
Le conditionnement statistique : en partant de la formule de la variance totale
on peut en déduire que, pour une variable Z bien choisie, on a un meilleur estimateur en utilisant plutôt que , en effet, on aurait dans ce cas une espérance égale (par le théorème de l'espérance totale) mais une variance moindre :
La stratification : on partitionne le domaine d'intégration en sous-domaines, et on introduit les lois de probabilités conditionnelles selon le sous-domaine, en cherchant à minimiser la variance induite
Exemples
On considère U et U deux variables aléatoires iid suivant une loi uniforme sur [0 ; 1], dont on déduit , , qui sont alors iid suivant une loi uniforme sur , et on pose enfin la variable X la variable qui vaut 1 si le couple (V,V) est dans le cercle centré en et de rayon 1, et 0 sinon. Alors :
Une façon de réduire la variance est d'utiliser le conditionnement par V. En effet,
d'où :
Ainsi, pour estimer la valeur de , on peut préférer effectuer une série de n tirages uniformes et calculer , plutôt que la méthode de Monte-Carlo intuitive, qui consiste en un tirage de couples de variables uniformes. Dans cet exemple, on peut même remarquer que est paire, donc on peut le cumuler avec un tirage antithétique, qui permet encore de diviser par 2 le nombre de tirages.
Références
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