En mathématiques, une dimension topologique est une notion destinée à étendre à des espaces topologiques la notion algébrique de dimension d'un espace vectoriel. C'est un invariant topologique, entier ou infini.

Les trois principales dimensions topologiques sont les deux dimensions inductives et et la dimension de recouvrement . Les dimensions et coïncident pour tout espace métrisable ; si l'espace est de plus séparable, ses trois dimensions topologiques sont égales, généralisé .. Ces « bons espaces » incluent en particulier les variétés topologiques et a fortiori les variétés différentielles. La dimension topologique n'est pas vraiment l'outil adapté à des applications pratiques, pour lesquelles on lui préfère la notion de dimension fractale.

Dimensions inductives La petite dimension inductive , ou dimension de Urysohn-Menger, et la grande dimension inductive , ou dimension de Čech, seront définies par récurrence à partir de la notion suivante : . : on dira qu'un fermé sépare deux parties A et B si son complémentaire est la réunion de deux ouverts disjoints dont l'un contient A et l'autre contient B.

Espace de dimension n On définit la valeur de pour tout espace régulierOu (plus rarement) : pour tout espace vérifiant l'axiome de séparation T mais pas nécessairement l'axiome T. et de pour tout espace normalOu (plus rarement) : pour tout espace vérifiant T mais pas nécessairement T. par l'ensemble de ses majorants :

pour : si (dans ) un point et un fermé ne contenant pas ce point sont toujours séparés par un sous-espace tel que ., dans le cas d'un espace normal. ; si (dans ) deux fermés disjoints sont toujours séparés par un sous-espace tel que ...

Remarques Pour tout espace normal , , d'où les notations et et les qualificatifs de petite et grande. Pour tout sous-espace de , on a . On obtient la même.. fonction sur les espaces réguliers lorsqu'on remplace sa définition récursive par : si les ouverts tels que forment une base de ,où désigne la frontière de . De mêmeRappelons que dans tout espace topologique, un ensemble de parties est une base si et seulement si pour tout point x, celles de ces parties qui contiennent x forment une base de voisinages de x., la condition ci-dessus pour peut être remplacée (pour normal) par : pour tout fermé F, les ouverts contenant F et tels que forment une base de voisinages de F.

Espace de dimension zéro Un espace topologique non vide est dit « de dimension zéroOu dans , qui réserve le terme « dimension » à la dimension de recouvrement. Mais pour la plupart des auteurs, signifie « espace dispersé », qui est une autre notion . » s'il possède une base d'ouverts-fermés ; un tel espace vérifie l'axiome T.

Les espaces de dimension zéro sont donc exactement les espaces T pour lesquels (d'après la définition ci-dessus en termes de base d'ouverts).

Propriétés Un espace de Lindelöf non vide et de dimension zéro vérifie même (TTout espace T et de Lindelöf est T. et) ; et, pour une classe plus vaste (les espaces « fortement paracompacts »), .. Pour tout espace non vide, si et seulement si .. Tout produit d'espaces de dimension zéro est de dimension zéro.. Un espace régulier de dimension zéro est totalement discontinuC'est-à-dire que ses composantes connexes sont les singletons..(la réciproque est fausse ; l’ est un contre-exemple)

Exemples Tous les espaces (séparés) localement compacts totalement discontinus — en particulier les espaces discrets — sont de dimension zéro.. Une partie non vide de R est de dimension zéro si et seulement si elle est d'intérieur vide (comme Q, R\Q ou le compact de Cantor, ces deux derniers étant d'ailleurs homéomorphes à des produits d'espaces discrets : N et {0, 1}). Il existe un espace compact de dimension zéro contenant un sous-espace tel que , complété par une remarque de ..

Exemples La dimension de tout ouvert non vide de Rn est nCe fait est à rapprocher du théorème de l'invariance du domaine de Brouwer.. Un arc de Jordan rectifiable dans Rn est de dimension 1, une portion de surface régulière est de dimension 2, etc.

Propriétés Pour tout espace de Lindelöf, (inégalités d'Aleksandrov) et si alors ., le démontre même pour les espaces « fortement paracompacts ».Ceci complète deux résultats ci-dessus sur les espaces de dimension zéro.. À partir de , les trois dimensions peuvent être distinctes : pour tout entier , il existe un compact tel que , et . Pour tout espace normal , si est fermé dans alors ., mais il existe des contre-exemples si n'est pas fermé (cf. § « Espace de dimension zéro » ci-dessus). Il existe un compact réunion de deux fermés et tels que mais ..

Cependant, si est un espace parfaitement normal, alorsThéorème dû à Dowker, qui suppose seulement que est « totalement normal ». C'est un axiome de séparation intermédiaire entre « parfaitement normal » et « complètement normal ».Cité dans . : pour tout sous-espace de , on a ; si est réunion d'une suite de fermés alors =Preuve (en termes de ) dans le cas où est métrisable et séparable : . . Il existe : des espaces normaux dont le produit n'est pas normal ; des compacts et tels que et mais V. V. Filippov (1972), cité dans et dans . ; un espace de Lindelöf de dimension zéro tel que soit normal et .. Cependant, (pour et non tous deux vides) dès que est parfaitement normal et est métrisable. et (en termes de ) dans le cas particulier où et sont métrisables et séparables . (mais l'inégalité peut être stricte : il existe même. un espace métrisable séparable homéomorphe à et de dimension 1).

Dimension de recouvrement

Définition La dimension de recouvrement de Lebesgue, , se définit de même par ses majorants mais sans récurrence : si tout recouvrement ouvert fini de admet un recouvrement ouvert fini plus fin tel que chaque point de appartient à au plus ouverts de ce dernier recouvrement.

Propriétés Pour tout espace normal , .. Pour tout espace métrisable , : théorème de Katětov-Morita., l'inégalité pouvant être stricte et .. Un espace normal vérifie si et seulement si toute application continue d'un fermé de dans la sphère S peut se prolonger à E..

Lien avec la dimension de Hausdorff La dimension de Hausdorff d'un espace métrisable dépend spécifiquement de la distance utilisée. La dimension topologique d'un espace métrisable séparable E est le minimum des dimensions de Hausdorff de E pour toutes les distances sur E compatibles avec sa topologie..

La définition de fractale initialement donnée par Benoît Mandelbrot est celle d'un espace métrique dont la dimension topologique est strictement inférieure à la dimension de Hausdorff., mais il l'a rapidement remplacée par une définition plus vague, permettant d'inclure par exemple la courbe de Hilbert.

Notes et références Notes

Références

Topologique Catégorie:Topologie générale