Les Éléments d'analyse sont une série de 9 volumes écrits par le mathématicien français Jean Dieudonné. À l'origine, seul le premier volume, Foundations of Modern Analysis, publié en 1960, était prévu. J. Dieudonné l'écrit à la suite d'une série de cours dispensés à l'université du Michigan. Dans ce premier volume, l'auteur souhaite présenter les connaissances minimales en analyse que doit acquérir un étudiant en mathématiques ou en physique.
Plus tard, ce premier tome sera traduit en français sous le titre Fondements de l'Analyse moderne. Dieudonné y ajoutera 8 volumes supplémentaires écrits directement en français.
Plan de l'ouvrage Tome I : Fondements de l'Analyse moderne
Tome I
I - Éléments de la théorie des ensembles. 1. Éléments et ensembles. 2. Calcul booléen. 3. Produit de deux ensembles. 4. Applications. 5. Images directes et réciproques. 6. Applications surjectives, injectives, bijectives. 7. Compositions d'applications. 8. Familles d'éléments. Réunion et intersection de famille d'ensembles. 9. Ensembles dénombrables.
II - Nombres réels. 1. Axiomes des nombres réels. 2. Structure d'ordre des nombres réels. 3. Borne supérieure et borne inférieure.
III - Espaces métriques. 1. Distances et espaces métriques. 2. Exemples de distances. 3. Isométries. 4. Boules, sphères, diamètre. 5. Ensembles ouverts. 6. Voisinages. 7. Intérieur d'un ensemble. 8. Ensembles fermés, points adhérents, adhérence d'un ensemble. 9. Parties denses, espaces séparables. 10. Sous-espaces d'un espace métrique. 11. Applications continues. 12. Homéomorphismes. Distances équivalentes. 13. Limites. 14. Suites de Cauchy, espaces complets. 15. Théorèmes élémentaires de prolongement. 16. Espaces compacts. 17. Ensembles compacts. 18. Espaces localement compacts. 19. Espaces connexes et ensembles connexes. 20. Produit de deux espaces métriques.
IV - Propriétés particulières à la droite réelle. 1. Continuité des opérations algébriques. 2. Fonctions monotones. 3. Logarithmes et exponentielles. 4. Les nombres complexes. 5. Le théorème de prolongement de Tietze-Urysohn.
V - Espaces normés. 1. Espaces normés et espaces de Banach. 2. Séries dans un espace normé. 3. Séries absolument convergentes. 4. Sous-espaces et produits finis d'espaces normés. 5. Condition de continuité d"une application multilinéaire. 6. Normes équivalentes. 7. Espaces d'applications multilinéaires continues. 8. Hyperplans fermés et formes linéaires continues. 9. Espaces normés de dimension finie. 10. Espaces normés séparables.
VI - Espaces de Hilbert. 1. Formes hermitiennes. 2. Formes hermitiennes positives. 3. Projection orthogonale sur un sous-espace complet. 4. Somme hilbertienne d'espaces de Hilbert. 5. Systèmes orthonormaux. 6. Orthonormalisation.
VII - Espaces de fonctions continues. 1. Espaces de fonctions bornées. 2. Espaces de fonctions continues bornées. 3. Le théorème d'approximation de Stone-Weierstrass. 4. Application. 5. Ensembles équicontinus. 6. Fonctions réglées.
VIII - Calcul différentiel. 1. Dérivée d'une application continue. 2. Règles formelles de dérivation. 3. Dérivées dans des espaces de fonctions linéaires continues. 4. Dérivées des fonctions d'une variable. 5. Le théorème de la moyenne. 6. Applications du théorème de la moyenne. 7. Primitives et intégrales. 8. Application : le nombre e. 9. Dérivées partielles. 10. Jacobiens. 11. Dérivée d'une intégrale dépendant d'un paramètre. 12. Dérivées d'ordre supérieur. 13. Opérateurs différentiels. 14. Formule de Taylor.
IX - Fonctions analytiques. 1. Séries entières. 2. Substitution de séries entières dans une série entière. 3. Fonctions analytiques. 4. Le principe de prolongement analytique. 5. Exemples de fonctions analytiques ; la fonction exponentielle ; le nombre . 6. Intégration le long d'une route. 7. Primitive d'une fonction analytique dans un domaine simplement connexe. 8. Indice d'un point par rapport à une circuit. 9. La formule de Cauchy. 10. Caractérisation des fonctions analytiques de variables complexes. 11. Le théorème de Liouville. 12. Suites convergentes de fonctions analytiques. 13. Ensembles équicontinus de fonctions analytiques. 14. La série de Laurent. 15. Points singuliers isolés ; pôles ; zéros ; résidus. 13. Le théorème des résidus. 14. Fonctions méromorphes.
Appendice au Chapitre IX. - Application des fonctions analytiques à la topologie plane. 1. Indice d'un point par rapport à un lacet. 2. Applications essentielles dans le cercle unité. 3. Coupures du plan. 4. Arcs simples et courbes fermées simples.
X - Théorèmes d'existence. 1. La méthode des approximations successives. 2. Fonctions implicites. 3. Le théorème du rang. 4. Équations différentielles. 5. Comparaison des solutions d'équations différentielles. 6. Équations différentielles linéaires. 7. Dépendance des paramètres. 8. Dépendance des conditions initiales. 9. Le théorème de Frobenius.
XI - Théorie spectrale élémentaire. 1. Spectre d'un opérateur continu. 2. Opérateurs compacts. 3. La théorie de F. Riesz. 4. Spectre d'un opérateur compact. 5. Opérateurs compacts dans les espaces de Hilbert. 6. L'équation intégrale de Fredholm. 7. Le problème de Sturm-Liouville.
Annexe - Éléments d'algèbre linéaire. 1. Espaces vectoriels. 2. Applications linéaires. 3. Sommes directes de sous-espaces. 4. Bases. Dimensions et codimension. 5. Matrices. 6. Applications multilinéaires. Déterminants. 7. Mineurs d'un déterminant.
Tome II
Tome II
XII - Compléments de topologie et d'algèbre topologique. 1. Espaces topologiques. 2. Notions topologiques. 3. Espaces séparés. 4. Espaces uniformisables. 5. Produits d'espaces uniformisables. 6. Recouvrements localement finis et partitions de l'unité. 7. Fonctions semi-continues. 8. Groupes topologiques. 9. Groupes métrisables. 10. Espaces à opérateurs et espaces d'orbites. 11. Espaces homogènes. 12. Groupes quotients. 13. Espaces vectoriels topologiques. 14. Espaces localement convexes. 15. Topologies faibles. 16. Le théorème de Baire et ses conséquences.
XIII - Intégration. 1. Définition d'une mesure. 2. Mesures réelles. 3. Mesures positives. Valeur absolue d'une mesure. 4. Topologie vague. 5. Intégrales supérieure et inférieure par rapport à une mesure positive. 6. Fonctions et ensembles négligeables. Fonctions et ensembles intégrables. 7. Les théorèmes de convergence de Lebesgue. 8. Fonctions mesurables. 9. Intégrales de fonctions vectorielles. 10. Les espaces L et L. 11. Intégration par rapport à une mesure positive. 12. Le théorème de Lebesgue-Nikodym. 13. Applications : I. Intégration par rapport à une mesure complexe. 14. Applications : II. Dual de L. 15. Décompositions canoniques d'une mesure. 16. Support d'une mesure. Mesures à support compact. 17. Mesures bornées. 18. Produit de mesures.
XIV - Intégration dans les groupes localement compacts. 1. Existence et unicité d'une mesure de Haar. 2. Cas particuliers et exemples. 3. Fonction module sur un groupe ; module d'un automorphisme. 4. Mesure de Haar sur un groupe quotient. 5. Convolution de mesures sur un groupe localement compact. 6. Exemples et cas particuliers de convolutions de mesures. 7. Propriétés algébriques de la convolution. 8. Convolution d'une mesure et d'une fonction. 9. Exemples de convolutions de mesures et de fonctions. 10. Convolution de deux fonctions. 11. Régularisation.
XV - Algèbres normées et théorie spectrale.
1. Algèbres normées. 2. Spectre d'un élément d'une algèbre normée. 3. Caractères et spectre d'une algèbre de Banach commutative. Transformation de Gelfand. 4. Algèbres de Banach involutives et algèbres stellaires. 5. Représentations des algèbres involutives. 6. Formes linéaires positives et représentations ; formes hilbertiennes positives. 7. Traces, bitraces et algèbres hilbertiennes. 8. Algèbres hilbertiennes complètes. 9. Le théorème de Plancherel-Godement. 10. Représentations des algèbres de fonctions continues 11. La théorie spectrale de Hilbert. 12. Opérateurs normaux non bornés. 13. Prolongements des opérateurs hermitiens non bornés.
Tome III
Tome III
XVI -Variétés différentielles. 1. Cartes, atlas, variétés. 2. Exemples de variétés différentielles. Difféomorphismes. 3. Applications différentiables. 4. Partitions différentiables de l'unité. 5. Espaces tangents ; applications linéaires tangentes ; rang. 6. Produits de variétés. 7. Immersions, submersions, subimmersions. 8. Sous-variétés. 9. Groupes de Lie. 10. Espaces d'orbites; espaces homogènes. 11. Exemples: groupes unitaires, variétés de Stiefel, grassmaniennes, espaces projectifs. 12. Fibrations. 13. Définition de fibrations par des cartes. 14. Espaces fibrés principaux. 15. Espaces fibrés vectoriels. 16. Opérations sur les fibrés vectoriels. 17. Suites exactes, sous-fibrés et fibrés quotients. 18. Morphismes canoniques de fibrés vectoriels. 19. Image réciproque d'un fibré vectoriel. 20. Formes différentielles. 21. Variétés orientables et orientations. 22. Changements de variables dans les intégrales multiples et mesures lebesguiennes. 23. Le théorème de Sard. 24. Intégrale d'une n-forme différentielle sur une variété pure orientée de dimension n. 25. Théorèmes de plongement et d'approximation. Voisinages tubulaires. 26. Homotopies et isotopies différentiables. 27. Groupe fondamental d'une variété connexe. 28. Revêtements et groupe fondamental. 29. Revêtement universel d'une variété différentielle. 30. Revêtements d'un groupe de Lie.
XVII - Calcul différentiel sur une variété différentielle.
I. Distributions et opérateurs différentiels. 1. Les espaces (U ouvert dans ). 2. Espaces de sections (resp. ) de fibrés vectoriels. 3. Courants et distributions. 4. Définition locale d'un courant. Support d'un courant. 5. Courants sur une variété orientée. Distributions sur . 6. Distributions réelles. Distributions positives. 7. Distributions à support compact. Distributions ponctuelles. 8. Topologie faible sur les espaces de distributions. 9. Exemple : parties finies d'intégrales divergentes. 10. Produit tensoriel de distributions. 11. Convolution des distributions sur un groupe de Lie. 12. Régularisation des distributions. 13. Opérateurs différentiels et champs de distributions ponctuelles. 14. Champs de vecteurs comme opérateurs différentiels. 15. Différentielle extérieure d'une p-forme différentielle. 16. Connexions sur un fibré vectoriel. 17. Opérateurs différentiels associés à une connexion. 18. Connexions sur une variété différentielle. 19. Différentielle extérieure covariante. 20. Courbure et torsion d'une connexion.
Annexe -Compléments d'algèbre (suite).
8. Modules ; modules libres. 9. Dualité des modules libres. 10. Produits tensoriels de modules libres. 11. Tenseurs. 12. Tenseurs symétriques et antisymétriques. 13. Algèbre extérieure. 14. Dualité dans l'algèbre extérieure. 15. Produits intérieurs. 16. Formes bilinéaire alternées non dégénérées et groupe symplectique. 17. Algèbre symétrique. 18. Dérivations et antidérivations des algèbres graduées. 19. Algèbre de Lie.
Tome IV
Tome IV
XVIII - Calcul différentiel sur une variété différentielle.
II.Théorie globale élémentaire des équations différentielles du premier et du second ordre.
Théorie locale élémentaire des systèmes différentiels. 1. Équations différentielles du premier ordre sur une variété différentielle. 2. Coulée d'un champ de vecteurs. 3. Équations différentielles du second ordre sur une variété. 4. Champs isochrones et équations du second ordre isochrones. 5. Propriétés de convexité des équations différentielles isochrones. 6. Géodésiques d'une connexion. 7. Familles de géodésiques à un paramètre et champs de Jacobi. 8. Champs de p-directions, systèmes de Pfaff et systèmes d'équations aux dérivées partielles. 9. Systèmes différentiels.