En mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique, le produit fibré de deux schémas au dessus d'un schéma de base est une construction généralisant le produit de deux schémas, qui est l'équivalent pour les schémas du produit cartésien de deux ensembles, du produit de deux anneaux,espaces vectoriels, espaces topologiques, etc.
Le produit fibré de deux schémas est un outil fondamental de la théorie des schémas utilisé pour construire des schémas. Un point de vue important en théorie des schémas est le point de vue relatif développé par Alexandre Grothendieck, qui consiste à considérer non plus les schémas comme objets isolés, mais plutôt les schémas comme au dessus d'autre schémas, c'est-à-dire à considérer les morphismes de schémas plutôt que les schémas. Dans ce contexte, le produit fibré s'identifie à un changement de base : si est un schéma au dessus d'un schéma (c'est-à-dire qu'on dispose d'un morphisme de schémas ) et est lui aussi un schéma au dessus de , alors le produit fibré peut-être vu comme un schéma au dessus de , via le changement de base .
Puisque la catégorie des anneaux est anti-équivalentes à celle des schémas affines via le foncteur covariant , le produit fibré de deux schémas affines et au dessus d'un schéma affine de base est simplement le spectre du produit tensoriel des -algèbres correspondantes, qui est le coproduit dans la catégorie des anneaux. Le produit fibré de deux schémas quelconques au dessus d'un schéma de base quelconque est une généralisation de cette construction.
Définition vignette|Diagramme commutatif traduisant la propriété universelle du produit fibré dans la catégorie des schémas. À un schéma fixé (appelé schéma de base) est associée la catégorie des -schémas, c'est-à-dire la catégorie dont les objets sont les schémas munis d'un morphisme de schémas (appelé morphisme structural du -schéma ) et dont les morphismes sont les morphismes de schémas compatibles avec les morphismes structuraux. En d'autres termes, la catégorie des -schémas est la catégorie quotient de la catégorie des schémas par .
Soit deux -schémas. En langage catégorique, le produit fibré de et au-dessus de est simplement le produit de , dans la catégorie des -schémas. En termes plus concrets, le produit fibré de au-dessus de est la donnée d'un -schéma noté , et de deux morphismes et (appelés morphismes de projection) vérifiant la propriété universelle suivante :
pour tout -schéma et pour tout couple de morphismes de -schémas et , il existe un unique morphisme tel que et .
L'existence de produits fibrés n'est pas assuré dans une catégorie quelconque, mais le produit fibré existe bien dans la catégorie des schémas.
Comme toute solution d'un problème universelle, l'unicité découle immédiatement de la définition. L'existence se prouve en réduisant la démonstration cas du produit fibré de deux schémas affines au-dessus d'un schéma affine. Celui-ci est alors construit à partir du produit tensoriel de deux algèbres au-dessus d'un anneau commutatif unitaire . Il s'agit en effet de la somme dans la catégorie des -algèbres, catégorie opposée de la catégorie des -schémas affines.
Le produit fibré est souvent dénoté par , les morphismes de projection étant sous-entendus. Si est un schéma affine, le produit fibré est parfois noté , le schéma étant remplacé par l'anneau . Le morphisme dans la propriété universelle ci-dessus est noté par certains auteurs.
Premières propriétés Soit un schéma fixé et , deux schémas au-dessus de via les morphismes et . Comme précédemment, les morphismes de projections associés au produit fibré sont dénotés par et .
Si , et sont des schémas affines, alors et les morphisme de projections et sont induits par les homomorphismes d'anneaux et définis respectivement par et . Si , et sont des parties ouvertes respectives de et telles que et , alors le produit fibré s'identifie à et les morphismes de projection de sont simplement les restrictions de et . L'anneau est un objet initial de la catégorie des anneaux, et donc est un objet final de la catégorie des schémas affines. C'est aussi un objet final de la catégorie des schémas, c'est-à-dire qu'il existe toujours un unique morphisme de schémas . Par conséquent, si , alors le produit fibré ne dépend que de et et est isomorphe au produit de et dans la catégorie des schémas.
Le produit fibré de schémas hérite des propriétés générales du produit fibré dans une catégorie quelconque, Pour tout -schéma , si Sch/ désigne la catégorie des -schémas, alors l'application
définie par est bijective. En d'autres termes, si Sch désigne la catégorie des schémas, alors l'application
est bijective. Le produit fibré est commutatif et associatif, c'est-à-dire qu'il existe des isomorphismes canoniques et Si est un -schéma, alors c'est également un -schéma par composition, et il existe un isomorphisme canonique
Exemples
Soit et deux algèbres au-dessus d'un corps . Alors le produit fibré est le -schéma affine associé à la -algèbre . En particulier, si et , alors , donc , si et , alors est le quotient de par l'idéal engendré par et . Le produit de la droite projective par elle-même au dessus de n'est pas isomorphe au plan projectif . Ce produit est isomorphe à la quadratique de . Plus généralement, le produit de deux variétés projectives est une variété projective (plongement de Segre). est une variété algébrique sur qui a exactement deux points, alors que chaque composante n'en a qu'un. Le produit fibré topologiques de deux points étant égal à un point, il s'agit d'un exemple où l'espace topologique sous-jacent au produit fibré de la catégorie des schémas ne coïncide pas avec le produit fibré des espaces topologiques sous-jacents dans la catégorie des espaces topologiques.
Espace topologique sous-jacent
Pour un schéma , notons l'espace topologique sous-jacent. L'espace topologique de n'est en général pas égal au produit fibré des espaces topologiques sous-jacents dans la catégorie des espaces topologiques en général (cf. l'exemple ci-dessus du produit de avec lui-même au-dessus de ).
Pour des variétés algébriques sur un corps , . Les points rationnels sont donc contrôlés par le produit fibré dans la catégorie des schémas. Lorsque est algébriquement clos, les points fermés de sont en bijection avec le produit cartésien des points fermés de et de . La topologie de Zariski sur le produit est strictement plus fine que la topologie produit en général, même dans le cas où est algébriquement clos et pour les points fermés.
Par exemple, si et sont deux copies de la droite affine sur , alors est le plan affine . L'ouvert de Zariski , qui correspond au complémentaire de la diagonale ne contient aucun ouvert non vide de la forme avec des ouverts de .
Changement de base
Le concept du changement de base est fondamental dans la théorie des schémas.
Soit un schéma fixé et un -schéma. Pour un morphisme de schémas, le produit fibré muni de la deuxième projection est alors un -schéma, et on dit qu'il est obtenu par le changement de bases . Le -schéma ainsi obtenu est parfois noté . De plus, si est un morphisme de -schémas, alors le produit fibré par induit un morphisme de -schémas .
Exemples Si est un morphismes d'anneaux (commutatifs unitaires), alors l'espace affine à de dimensions au dessus de peut être construit à partir de en considérant le changement de base . Si est une extension de corps, alors devient, après le changement de base , le schéma affine. Similairement, devient .
Dans ces deux derniers exemples, le changement de base est donné par une extension de corps. On parle alors d'extension du corps de base ou d'extensions des scalaires. Par exemple, une conique projective non singulière devient isomorphe à la droite projective après une extension quadratique séparable du corps de base.
Si est une variété algébrique sur un corps et si est une extension de corps, alors est l'ensemble des points rationnels de .
Fibres d'un morphisme
Soit un morphisme de schémas et un point. Au niveau ensembliste, la fibre de en est le sous-ensemble de . Le produit fibré permet de munir canoniquement ce sous-ensemble d'une structure de schéma. En effet, il existe un morphisme canonique , où désigne le corps résiduel de en . Le produit fibré est un -schéma par la seconde projection. La première projection induit un homéomorphisme de sur . Le -schéma est appelé la fibre de en . Le -schéma peut alors être vu comme la famille des -schémas, lorsque parcourt les points de .
Si est irréductible, de point générique , alors la fibre est appelée la fibre générique de . Si est un point fermé de , alors la fibre est dite fermée, ou spéciale lorsque est le spectre d'un anneau de valuation discrète. Dans ce cas, possède un unique point fermé, associé à l'unique idéal maximal de l'anneau de valuation discrète.
Exemples Les fibres du morphisme structural de l'espace affine sur sont des espaces affines . Soit , où est un nombre premier fixé, qui est un -schéma. Sa fibre générique est isomorphe à la droite affine sur le corps des rationnels, privée de l'origine, car est inversible dans , et donc où le dernier isomorphisme est donné par et . De même, sa fibre en tout nombre premier distinct de (correspondant donc à l'idéal premier ) est isomorphe à la droite affine sur le corps fini à éléments , privée de l'origine. En revanche, sa fibre en , égale à est la réunion de deux droites affines sur se coupant transversalement en un point. Cette fibre n'est pas réduite car la classe de dans le quotient est nilpotent et non nulle. Soit une extension de corps de nombres et soient et leurs anneaux d'entiers respectifs. Soit induit par l'inclusion des anneaux d'entiers. Alors l'extension est non ramifiée au-dessus d'un idéal premier de si et seulement si la fibre de en est un schéma réduit. Si est une courbe elliptique sur , alors son équation de Weierstrass minimale définit un schéma projectif sur , Sa fibre en un nombre premier (vu comme le point de ) est une courbe projective sur le corps premier et est appelée la (ou plutôt une) réduction de modulo , et sa géométrie porte une grande importance en théorie des nombres, notamment dans la construction de la fonction L associée à .
Catégorie:Géométrie algébrique