Le théorème de Mahler offre un analogue du développement en série de Taylor pour les fonctions continues à valeurs p-adiques et dont la variable prend des valeurs p-adiques. Le théorème a été démontré par Kurt Mahler, .
En combinatoire, le symbole de Pochhammer représente la factorielle indexée : . On note l'opérateur de différence défini par . Alors nous avons
c’est-à-dire que le lien de parenté entre l'opérateur et cette suite de polynômes est analogue au lien entre la différentiation réelle et la suite dont le n-ième terme est .
Contrairement au cas des séries à valeurs complexes où les conditions sont très contraignantes (cf. théorème de Carlson), on a seulement besoin de la continuité.
Si est un polynôme à coefficients dans n'importe quel corps commutatif de caractéristique nulle, l'identité reste valable.
Notes et références
Mahler Mahler