En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, la méthode des multiplicateurs de Lagrange permet de trouver les points stationnaires (maximum, minimum…) d'une fonction dérivable d'une ou plusieurs variables, sous contraintes..

Dimension finie

On cherche à trouver l'extremum, un minimum ou un maximum, d'une fonction φ de n variables à valeurs dans les nombres réels, ou encore d'un espace euclidien de dimension n, parmi les points respectant une contrainte, de type ψ(x) = 0 où ψ est une fonction du même ensemble de départ que φ. La fonction ψ est à valeurs dans un espace euclidien de dimension m. Elle peut encore être vue comme m fonctions à valeurs réelles, décrivant m contraintes.

Si l'espace euclidien est de dimension 2 et si la fonction ψ est à valeurs dans ℝ, correspondant à une contrainte mono-dimensionnelle, la situation s'illustre par une figure analogue à celle de droite. La question revient à rechercher le point situé le plus haut, c'est-à-dire le maximum de φ, dans l'ensemble des points rouges, c'est-à-dire ceux qui vérifient la contrainte. Le point recherché est celui où la courbe rouge ne monte ni ne descend. En termes techniques, cela correspond à un point où la différentielle de ψ possède un noyau orthogonal au gradient de φ en ce point. La méthode du multiplicateur de Lagrange offre une condition nécessaire. Les fonctions φ et ψ sont différentiables et leurs différentielles continues ; on parle de fonction de classe C.

On considère λ un vecteur pris dans l'ensemble d'arrivée de ψ et la fonction L définie par :

Cette fonction est parfois appelée le lagrangien.

L'opérateur représenté par un point est ici le produit scalaire. Si x est une solution recherchée, on montre qu'il existe un vecteur λ tel que la fonction L admet une différentielle nulle au point (x, λ). Les coordonnées du vecteur λ. — ou parfois du vecteur opposé.Extrema liés - Multiplicateurs de Lagrange sur bibmath.net. — sont appelées multiplicateurs de Lagrange. Cette technique permet de passer d'une question d'optimisation sous contrainte à une optimisation sans contrainte, celle de la fonction L, dans un espace de dimension n + m.

Exemple introductif

Soit v un nombre strictement positif. L'objectif est de trouver la portion de cylindre de rayon r et de hauteur h de surface minimale (couvercles compris) et de volume v. Pour cela on définit deux fonctions, v et s qui à (r, h) associent respectivement le volume et la surface de la portion de cylindre. On dispose des égalités

La figure de droite représente la fonction s, qui à r et h associe la surface. La ligne bleue correspond aux points de volume égal à 1. L'objectif est de trouver le point bleu, de plus petite surface pour un volume égal à 1. La fonction s n'est autre que la fonction φ du préambule. La fonction ψ et la fonction L sont définies par :

La méthode de Lagrange consiste à rechercher un point tel que la différentielle de L soit nulle. Sur un tel point, la dérivée partielle par rapport à λ est nulle, ce qui signifie que la fonction ψ est nulle, ou encore que la contrainte est respectée. Si l'on identifie s avec son approximation linéaire tangente, son comportement sur la contrainte, aussi identifiée à son approximation linéaire tangente, est aussi nécessairement nulle à partir de l'ordre 1. Ce comportement est illustré par la droite en vert sur la figure. Le long de cette droite, la fonction ψ est nulle, et le terme d'ordre 1 de la fonction s l'est alors nécessairement.

Il suffit, en conséquence, de calculer la différentielle de L, et plus précisément ses trois dérivées partielles, pour l'exemple choisi :

On trouve les valeurs suivantes :

Autrement dit : et , d'où .

Cet exemple possède l'avantage d'une représentation graphique simple, guidant l'intuition. En revanche, la méthode du multiplicateur de Lagrange n'est pas nécessaire dans ce cas : on peut simplement exprimer la valeur de h pour que le volume du cylindre respecte la contrainte imposée au volume v. On trouve :

En « injectant » cette contrainte dans l'équation décrivant l'aire, il vient :

et il suffit de trouver la valeur de r minimisant cette fonction pour trouver la solution. De même qu'avec le multiplicateur de Lagrange, on trouve :

Deuxième exemple : l'isopérimétrie du triangle Pour se convaincre de la pertinence de la méthode, on peut rechercher le triangle d'aire maximale et de périmètre p, choisi strictement positif. D'après la formule de Héron, si (x, y, z) est le triplet des longueurs des côtés du triangle, son aire A est égale à :

Il est plus simple de maximiser la fonction φ qui associe à (x,y,z) quatre fois le carré de A. La contrainte est donnée par la fonction ψ qui associe au triangle la différence du périmètre et de p :

Un triangle n'est défini, pour un triplet (x, y, z), que si les trois coordonnées sont positives et si la somme de deux coordonnées est supérieure à la troisième. Soit D cet ensemble de points. Sur la frontière de D, la fonction φ est nulle. On cherche un point de l'intérieur de D tel que φ soit maximal dans l'ensemble des points d'image par ψ nulle. Comme l'intersection de l'image réciproque de 0 par ψ et de D est un compact, il existe au moins un maximum. On définit comme dans l'exemple précédent la fonction L par :

On cherche x, y, z strictement positifs et λ tels que la différentielle de L soit nulle. Un calcul de dérivée partielle montre que ce quadruplet est solution du système d'équations :

On vérifie alors que la seule solution est , correspondant au triangle équilatéral.

Remarque L'objectif est ici d'illustrer la méthode du multiplicateur de Lagrange. On a trouvé le maximum d'une fonction φ dans l'intérieur de D, sous la contrainte définie par ψ. Si l'objectif est uniquement de résoudre le problème isopérimétrique pour le triangle, une solution plus simple est donnée dans l'article sur l'isopérimétrie.

Notations et interprétation géométrique

Soient E et F deux espaces vectoriels réels de dimensions respectives n et m avec n plus grand que m. Soit φ une fonction de E dans ℝ, que l'on cherche à minimiser : on cherche un point a tel que φ(a) soit le plus petit possible. Soit ψ une fonction de E dans F, définissant la contrainte. L'ensemble sur lequel on travaille est G, correspondant aux points x tels que ψ(x) = 0.

Si (e, … , e) est une base de E, chaque point x de E s'exprime comme une combinaison linéaire des éléments de la base :

Cette remarque permet de voir les fonctions φ et ψ de deux manières. Elles peuvent être vues comme des fonctions d'une unique variable x de E, ce qui rend l'écriture plus concise et favorise une compréhension plus simple, mais plus abstraite des mécanismes en jeu. Les applications peuvent aussi être vues comme fonctions de n variables x, … , x, ce qui présente une rédaction plus lourde mais plus aisée pour les calculs effectifs. L'espace F est de dimension m. Si (f, … , f) est une base de F, la fonction ψ peut aussi être vue comme m fonctions de n variables :

ou encore

L'ensemble G peut être vu comme une unique contrainte exprimée par une fonction à valeurs dans F ou encore comme m contraintes exprimées par les égalités ψ(x) = 0, à valeurs réelles.

Les fonctions φ et ψ sont de classe C, ce qui signifie qu'elles sont différentiables, autrement dit elles admettent chacune une application linéaire tangente en chaque point. Le terme C signifie aussi que les applications qui, à un point associent les différentielles, soit de φ soit de ψ, sont continues.

L'optimum recherché vérifie une propriété analogue à celle du théorème de Rolle. Un corollaire de ce théorème, illustré à gauche, indique que l'optimum, un maximum ou un minimum, s'il se situe dans l'intervalle ouvert ]a, b[, possède une tangente horizontale, ce qui signifie encore que sa différentielle est nulle. C'est un résultat de cette nature qui est recherché. On peut le visualiser sur la figure de droite, si n et m sont respectivement égaux à 2 et à 1. On représente φ (noté f sur la figure de droite) en bleu par ses courbes de niveau, comme les géographes. Les flèches représentent le gradient de la fonction φ. La différentielle de φ en un point est une application linéaire de E dans ℝ, c'est-à-dire une forme duale. Il est d'usage de considérer E comme un espace euclidien, de choisir la base de E orthonormale et d'identifier la différentielle avec le vecteur de E qui représente la forme duale. Dans ce cas, l'approximation linéaire tangente s'écrit :

La lettre o désigne un petit o selon la notation de Landau et le point entre le gradient de φ et h symbolise le produit scalaire. Le vecteur gradient est orthogonal à la courbe de niveau, dans le sens des valeurs croissantes de φ et de norme proportionnelle à la vitesse d'accroissement de φ dans cette direction. La contrainte vérifie une propriété analogue puisqu'elle est aussi différentiable. L'ensemble étudié est celui des valeurs x telles que ψ(x) est nul. Si x est élément de G, les points voisins de x dans G ont aussi une image nulle par ψ, autrement dit, l'espace tangent à G au point x est formé par les accroissements h de x qui ont une image nulle par la différentielle de ψ. La direction de l'espace tangent est le noyau de l'application différentielle de ψ. Une analyse par les fonctions coordonnées ψ exprime ce résultat en indiquant que l'espace tangent est l'intersection des hyperplans orthogonaux des gradients des ψ.

Une analyse au point optimal x recherché indique, en approximation du premier ordre, qu'un déplacement h dans la direction de l'espace tangent à G ne peut pas accroître la valeur de φ. Ceci signifie que le déplacement h est nécessairement orthogonal au gradient de φ en x. C'est ainsi que se traduit le théorème de Rolle, dans ce contexte. Géométriquement, cela signifie que la courbe de niveau bleue et la ligne rouge sont tangentes au point recherché. Analytiquement cela se traduit par le fait que le noyau de la différentielle de ψ en x est orthogonal au gradient de φ en ce point.

Une approche intuitive du théorème Il est peut-être utile, à ce stade, de fournir une approche intuitive du théorème, en se donnant un exemple ayant valeur générale. Considérons donc comme précédemment une fonction différentiable de ℝ dans ℝ , dont on se propose de trouver les extrema sous l'unique contrainte , avec différentiable. On verra ensuite comment s'y prendre pour deux contraintes.

Rappelons d'abord que la différentielle de φ en un point M de l'espace s'écrit , soit en notant φ' le vecteur

L'interprétation bien connue de ces relations est qu'un déplacement infinitésimal de vecteur dM au point M induit une variation infinitésimale de la fonction φ, égale au produit scalaire de φ' (appelé vecteur gradient de φ) avec dM.

Considérons maintenant la contrainte , qui définit une surface S dans l'espace, tout au moins localementSi l'on veut écrire ce raisonnement sous forme rigoureuse, c'est là qu'intervient le théorème des fonctions implicites et l'hypothèse que la différentielle de ψ ne s'annule pas. Il suffit ensuite de remplacer les déplacements dM par des courbes paramétrées s'appuyant sur la surface et passant par M.. Il est clair que le problème revient à trouver les points extremum de la restriction de φ à S. La différentielle de ψ en un point M de l'espace s'écrit, comme précédemment,

Cette relation est en particulier vraie si le point M est sur S. Mais supposons de plus qu'on astreigne le déplacement infinitésimal dM à s'effectuer sur S ; alors puisque ψ est identiquement nulle sur S, il en est de même de sa variation infinitésimale sur S, et dM devra donc vérifier la relation

Vu que dM est quelconque sur S, cela signifie que ψ'(M) est orthogonal à S au point M.