Un indice de pouvoir est un outil utilisé en politique microéconomique, une branche de l'économie, qui a été développée en premier par Lloyd Shapley et Martin Shubik en 1954 pour mesurer le pouvoir des participants à un jeu de vote suivant l'hypothèse qu'ils ne disposent pas tous du même nombre de voix.
Introduction Les différents intervenants, qui prennent part aux décisions de nombreuses institutions grâce à des procédures de vote, ne disposent pas tous du même poids, autrement dit du même nombre de votes. Cette façon de procéder se justifie par des raisons qui sont variées. Dans le cas des organisations internationales comme l'Union européenne, il s'agit de représenter à peu près équitablement les populations de tailles différentes des pays membres. Les différences dans le nombre de représentants attribués à chaque commune membre d'une même intercommunalité ont pour origine ce même genre de motivation.
Dans le cas des assemblées générales d'actionnaires, de copropriétaires ou bien encore dans les institutions monétaires internationales, les votes peuvent être aussi allouer en tenant compte des contributions financières de chacun des participants à la décision collective. Enfin, un processus démocratique peut être à l'origine des différences de poids: le nombre de sièges que détient un parti dans une assemblée démocratique détermine son poids.
L'idée sous-jacente, quelles que soient les raisons conduisant à l'attribution de différents poids aux différents électeurs, est toujours la même: cela consiste, dans un processus de choix collectif, à donner plus de pouvoir de décision à certains intervenants. Instinctivement, plus un votant a du poids, c'est-à-dire dispose de votes, plus il est perçu comme puissant et il y a ainsi matière à être tenté de croire que le pouvoir d'un vote correspond à son poids. Cette idée s'illustre par l'exempleLEECH D., 2000, An Empirical Comparison of the Performance of Classical Power Indices, Political Studies n°50, pages 1 à 22 suivant : les États-Unis sont souvent présentés comme disposant de 18 % du pouvoir de vote au Fonds monétaire international et la Banque mondiale puisqu'ils y possèdent 18 % du total des votes. Cette vision des choses ne correspond pas à la réalité et l'exemple suivant, emprunté à DemangeDEMANGE G., 2001, Commentaires de l'article de F.Bobay, Revue française d'économie n°16, pages 63 à 72, permet de s'en convaincre. Dans le cas d'une assemblée tripartite, constituée d'un petit parti disposant de 6 % des sièges et de deux grands partis réunissant 47 % des sièges, on a deux situations : si des décisions sont prises à la majorité (simple) des votes, alors le petit parti a a priori autant de pouvoir que les autres (puisqu'il a la même capacité que les deux autres à former une majorité) ; si en revanche, le seuil de décision est fixé à 2/3, le petit parti perd tout pouvoir (puisqu'une décision ne peut-être prise qu'avec l'accord des deux grands partis)Deux autres exemples illustrent notre propos et à partir desquels on constate que la notion de pouvoir est plus ou moins indépendante du nombre de sièges (autrement dit la notion de pouvoir n'est pas évidente) : Exemple n°1 : Un Conseil d'administration : On a trois joueurs: le joueur A (50 sièges), le joueur B (49 sièges) et le joueur C (1 siège). Pour qu'une décision soit prise il faut obtenir la majorité des voix du conseil, soit au moins 51 voix. Les majorités obtenues sont les suivantes : A et B ensemble (99 voix), A et C ensemble (51 voix) et A, B et C ensemble (100 voix). On observe de manière évidente que A a du pouvoir car il est indispensable à la construction d'une majorité. Par contre on constate que B et C ont le même pouvoir alors que B a 49 fois plus de poids que C. Exemple n°2 : Le Bundestag: Les élections du 3 octobre 1976 ont donné la répartition suivante: le groupe CDU/CSU (243 sièges), le groupe SPD (214 sièges) et le groupe FDP (39 sièges). Pour qu'une décision soit prise il faut obtenir la majorité des voix du parlement, soit au moins 249.Les majorités obtenues sont les suivantes : la coalition de la CDU/CSU et du SPD (457 sièges), la coalition de la CDU/CSU et du FDP (282 sièges), la coalition du SPD et du FDP (253 sièges) et la coalition de la CDU/CSU, du SPD et du FDP (496 sièges). On observe donc que les trois partis ont exactement le même pouvoir : en considérant les quatre combinaisons possibles, les trois groupes interviennent chacun trois fois. Ce résultat apparaît cohérent pour les groupes CDU/CSU et SPD, qui sont relativement peu éloignés en nombre de sièges. En ce qui concerne le FDP, cette conclusion n'est pas évidente du fait que ce groupe a 6,23 fois moins de députés que la CDU/CSU et 5,49 fois moins que le SPD.. La réalité du pouvoir de décision, c'est-à-dire la capacité d'influencer l'issue d'un vote, dépend ainsi de deux choses: la répartition complète des poids (la donnée du seul poids d'un électeur ne suffit pas à déterminer son pouvoir), la règle de vote. La question est alors la suivante : comment peut se traduire de manière numérique la réalité des rapports de force au sein d'un processus de décision collective ? Une tentative de réponse est apportée par les indices de pouvoir. Leur intérêt est double : ils sont en mesure d'analyser la répartition du pouvoir de vote entre les différents membres d'un processus de décision collective (d'où leur utilisation intensive dans l'étude du pouvoir au cœur de différents parlements nationaux ou institutions internationales, selon la règle de vote employée) ; ils permettent de mesurer l'impact d'un changement dans les règles de décisions sur le pouvoir des différents membres d'une assemblée (cette utilisation prospective pouvant aider à choisir les mécanismes vérifiant certains principes d'équité comme le fait que le pouvoir des intervenants soit proportionnel à leur poids). On peut donc se servir des indices de pouvoir aussi bien dans un but normatif qu'à des fins positives ou descriptives.
Historique Le premier indice de pouvoirMême si ce constat est posé, il reste que les travaux précurseurs de Martin (voir la référence sur Riker) et, encore plus, de Penrose ne doivent pas être minimisés. Pour ces aspects historiques se référer aux contributions de Falk, Felsenthal et Machover défini de manière formelle est celui de Shapley et ShubikSHAPLEY, L.S. and M. SHUBIK, 1954, A Method for Evaluating the Distribution of Power in a Committee System, American Political Science Review n°48, pages 787-792, 1954. Durant vingt ans les débats se sont principalement focalisés sur l'analyse et la comparaison de cet indice et de son principal concurrent apparu quelques années après et attribué à BanzhafJohn F. Banzhaf III (1965), Weighted voting doesn't work: A mathematical analysis, Rutgers Law Review n°19 (2): pages 317 à 343. Au cours des vingt cinq années suivantes, et plus particulièrement les dix dernières, la littérature sur les indices a été considérablement entendue et remodelée. Tout d'abord un grand nombre d'indices ont été créés au cours de cette période. Ensuite les approches ont été diversifiées et les auteurs plus nombreux, permettant d'enrichir le débat comme en témoignent les deux ouvrages de Felsenthal et Machover FELSENTHAL D.S. et M.MACHOVER, 1998, The measurement of Voting Power: Theory and Practice, Problems and Paradoxes, Edward Elgar et de Holler et OwenHOLLER M.J. et G. OWEN (éds), 2001, Power Indices and Coalition Formation, Kluwer Academic Publishers. Cette évolution a été particulièrement sensible en EuropeFalk considère, a priori à bon escient, que le centre de gravité de la recherche (théorique et empirique) sur les indices de pouvoir s'est déplacé au cours des dernières années des États-Unis vers l'Europe où l'organe principal de décision de l'Union, le Conseil des Ministres, utilise une règle de vote pondéré : les problèmes de pondération posés par les élargissement successifs de 1995 et 2004 ont généré un grand nombre d'articles et relancé l'intérêt des chercheurs, et des politiques, pour l'analyse du pouvoir de vote.
Définitions, exemples et notations L'étude du pouvoir de vote a été réalisée, pour la majeure partie, en se fondant sur la théorie des jeux coopératifs. Ce sont donc les notions et les outils de cette théorie qu'utilisent les indices de pouvoir. Le but de cette partie est de d'expliquer les notations employées et présenter les éléments de théorie des jeux qui seront utiles.
Définition d'un jeu de vote Un jeu de vote (ou jeu de contrôle) est un couple (N,v) où N={1,...,i,...,n} représente l'ensemble des "joueurs" (ici les votants) et v une valeur appartenant à {0,1} telle qu'à chaque groupe d'individus on associe à chaque fois un nombreOn note en lettre majuscule les ensembles et en lettre minuscule correspondante le nombre d'éléments de ces ensembles.
Définition d'une coalition gagnante Une coalition est dite gagnante si et perdante . On note le nombre de joueurs dans , l'ensemble des coalitions gagnantes et l'ensemble des coalitions gagnantes contenant le joueur .
Remarque 1 : Si l'on considère l'ensemble des joueurs comme un ensemble d'individus prenant part à un processus de décision collective, on peut généralement modéliser ce processus par un jeu de vote. Une coalition gagnante est alors définie comme un ensemble de votants tels que s'ils votent à l'unanimité pour une proposition, celle-ci est adoptée. On peut définir cette coalition comme une majorité généralisée.
Remarque 2 : La valeur v indique alors le statut de chaque coalition et par conséquent autorise la formalisation du processus de décision collective. Dans cette configuration l'abstention est exclue: devant une proposition, le joueur n'a le choix de voter qu'entre "oui" et "non".
Définition d'un joueur décisif Un individu est dit décisif pour une coalition gagnante si le retrait de ce participant rend la coalition perdante, c'est-à-dire si et . On note le nombre de joueurs décisifs dans la coalition , l'ensemble des coalitions pour lesquelles le joueur est décisif et son cardinal.
Définition d'une coalition minimale gagnante Une coalition est dite minimale gagnante si c'est une coalition gagnante dont tous les joueurs sont décisifs. On note l'ensemble des coalitions gagnantes de taille minimale (c'est-à-dire où chaque individu est décisif) et l'ensemble des coalitions gagnantes de taille minimale auquel le joueur i appartient.
Définition d'un jeu monotone Un jeu de vote remplissant la condition suivante :
est alors dit monotone.
Définition d'un jeu pondéré Un jeu simple est dit pondéré s'il existe un quota et un poids pour chaque joueur tel que : si 0 sinon Le jeu se note [; , ..., ]
Exemple n°1 Le jeu de vote pour la Communauté Européenne en 1952 s'écrit :
Définition d'un jeu propre Un jeu simple est supposé propre si pour une coalition gagnante, le complémentaire de celle-ci est perdant:
Définition d'un jeu fort Un jeu simple est supposé fort si :
Remarque: Cette condition est plus contraignante que celle de la définition 7. En effet un jeu pondéré est propre si , avec :
Si l'on suppose impaire, un jeu pondéré est fort si .
Exemple n°2 Voici un jeu important à quatre joueurs, où les calculs sont élémentaires, qui sert de référence :
On a un quota de 3 et le jeu suivant : [3;2,1,1,1].
On a quatre individus a, b, c et d, où a dispose d'un poids de 2 et les trois autres d'un poids de 1.
On peut écrire les coalitions gagnantes dans le tableau suivant :
Tableau 1 Coalitions gagnantes a b c d d(S) = nombre de joueurs décisifs s = taille de la coalition a,b 1 1 0 0 2 2 a,c 1 0 1 0 2 2 a,d 1 0 0 1 2 2 a,b,c 1 0 0 0 1 3 a,b,d 1 0 0 0 1 3 a,c,d 1 0 0 0 1 3 b,c,d 0 1 1 1 3 3 a,b,c,d 0 0 0 0 0 4
On peut ensuite écrire le tableau des coalitions minimales gagnantes :
Tableau 2 Coalitions gagnantes a b c d d(S) = nombre de joueurs décisifs s = taille de la coalition a, b 1 1 0 0 2 2 a, c 1 0 1 0 2 2 a, d 1 0 0 1 2 2 b, c, d 0 1 1 1 3 3