vignette|Observation de Roberval à Descartes au sujet de la précédente lettre de celui-ci à Cavendish, dans laquelle il pointe ses erreursÉdition latine de la correspondance de Descartes (1692), conservée dans le fonds patrimonial de la Médiathèque protestante de Strasbourg.. Les controverses du cartésianisme sont les disputes auxquelles le philosophe René Descartes fut mêlé, contre son gré ou à son initiative, de son vivant. La philosophie de Descartes s'affine au travers de ces controverses ; batailleur, ancien soldat, Descartes prend plaisir à ces disputes dans lesquelles il se montre parfois sous un jour assez sombre, ironique sans retenue, voire violent. Certains de ses adversaires font preuve de la même dureté de ton (Roberval, Vœtius, Jean de Beaugrand) d'autres, au contraire, y brillent par leur réserve et leur modestie (Gassendi, Fermat) ; elles portent sur trois axes de la pensée cartésienne, sa philosophie, ses affirmations scientifiques, et ses conséquences théologiques.
Querelles scientifiques La dioptrique
Loi de Fermat et formule de Snell Les lois de Snell-Descartes décrivent le comportement de la lumière à l'interface de deux milieux. L'énoncé de la loi des sinus est attribuée à Snell dans le monde entier sauf en France ; et une polémique porte encore aujourd'hui sur la question de savoir si, dans sa Dioptrique, Descartes a lui-même découvert cette loi ou simplement eu connaissance de celle établie auparavant par Snell, ce dernier étant décédé sans l’avoir publiée. Les avis des historiens ne sont pas concordants, y compris en France : le père jésuite CostabelCf. . défendait sans surprise le philosophe de la Haye mais selon les études plus récentes de Bernard Maitte, la formule de Snell aurait été confiée à André Rivet, professeur de théologie en relation avec le Père MersenneBernard Rochot, La correspondance scientifique du père Mersenne, Paris : Palais de la Découverte, 1966. et pourrait fort bien avoir été communiquée à Descartes.
Lorsqu'il tente de justifier cette loi (non démontrée par Snell), Descartes commet d'ailleurs bon nombre d'erreurs. Considérant le trajet de la lumière comme celui d'une balle, il explique la déviation subie par le trajet à ce que dans un milieu plus dense, la vitesse en est accélérée. Cette explication est l'explication même de Alhazen (Ibn alHaîtham) dans son livre, Kitab Al Manazir (De aspectibus), paru en 1575Vasco Ronchi, Histoire de la lumière, pages 42 et 43. Cette explication, qui sera infirmée par Léon Foucault, sera fort justement critiquée par Fermat :
Remarques de Fermat Jean de Beaugrand ayant parcouru le manuscrit de la « Dioptrique » se hâta de l'envoyer à Toulouse par la voye de Bordeaux, pour le faire lire à Monsieur De Fermat, conseiller au parlement de Languedoc, qui avoit témoigné une passion plus qu'ordinaire pour voir ce qui viendrait de la plume de M Descartes affirme Adrien Baillet. Consulté par Mersenne, Fermat décèle dans cette dioptrique deux erreurs importantesMichèle Grégoire : La correspondance entre Descartes et Fermat Volume 51 Numéro 51-2-3 pp. 355-362. Il ne trouve pas convaincante « l'inclination au mouvement » par laquelle Descartes croit pouvoir expliquer les angles d'incidence des phénomènes de réfraction. Dans les raisons qu'il donne à ce que les milieux traversés ne s'opposent pas de la même façon au mouvement d'une balle et à celui de la lumière, Descartes commet une erreur logique puisqu'il prétend à la fois que le mouvement de la lumière est instantané et qu'elle va moins vite dans l'air que dans l'eau. En septembre 1637, Fermat rédige ses impressions à Mersenne. Il y relève la contradiction. Descartes, alerté, répond aussitôt à Mersenne :
La querelle qui s'ensuit permet alors à Fermat de faire montre de rigueur et de sang-froid La correspondance entre Descartes et Fermat, lue par Michèle Grégoire :
Pour autant, la querelle sur la dioptrique en reste là. Ce n'est qu'après la mort de Descartes, quinze ans plus tard, que le mathématicien de Beaumont parviendra à une formulation satisfaisante de son principe de durée minimale (Œuvres de Fermat, t. III, 149-156), expliquant le trajet de la lumière dans des milieux d'indices différents.
Réponses de Descartes Selon Descartes les rayons optiques se comportent comme les balles du jeu de paume. Il décompose leur vitesse en somme de composantes horizontale et verticale. Selon lui, le franchissement de l'interface induit alors une diminution de la composante verticale ; le reste de son raisonnement est géométrique. Il ne parle pas explicitement de la vitesse de la lumière mais de « la facilité de la lumière à traverser un milieu ». Selon lui, cette facilité est plus grande dans les milieux denses que dans les milieux légersF. Martin-Robine: Histoire du principe de moindre action aux Éditions Vuibert.. Dans la lettre qu'il envoie fin 1637 au père Mersenne à propos des remarques de Fermat, il se montre d'ailleurs très modéréVictor Cousin: Œuvres de Descartes, Volume 10 ; pages 420-424.
Remarques de Hobbes Leur controverse sur la dioptrique est une controverse scientifique. Hobbes prend connaissance de la Méthode dès 1637. Elle lui a été transmise par Kenelm Digby, alors à Paris. Influencé par Walter Warner, Hobbes possède déjà sa propre théorie de la lumière. La polémique sur la dioptrique débute en 1640 alors que Thomas Hobbes a réfléchi depuis dix ans sur la question. Il envoie ses objections à Mersenne sous la forme de deux lettres, que le père minime expédie à Descartes. La polémique s'étend jusqu'en avril 1641. Depuis la publication du Short Tract, Hobbes est convaincu de la nature corporelle de la substance. Il rejette l'idée « cartésienne » de substance spirituelle. En outre, pour lui, la sensation (par laquelle nous percevons la lumière par exemple) n'est pas une pure réception, mais aussi une organisation des données. Sa théorie de la représentation l'amène donc à s'opposer au spiritualisme de DescartesMichel Fichant, Dominique Weber, Jean-Luc Marion : Hobbes, Descartes et la métaphysique: actes du colloque.
Le principe de Fermat Le principe de Fermat est un principe physique qui sert de fondement à l'optique géométrique. Il décrit la forme du chemin optique d'un rayon lumineux et s'énonce ainsi : La lumière se propage d'un point à un autre sur des trajectoires telles que la durée du parcours soit extrémale. Il permet de retrouver la plupart des résultats de l'optique géométrique, en particulier les lois de la réflexion sur les miroirs, les lois de la réfraction...
La méthode des tangentes Minimax de Fermat
thumb|René Descartes. Descartes reçoit de Mersenne l'essai de Fermat intitulé Methodus ad disquirendam maximám et minimam et le philosophe reprend son « procès en mathématiques » contre monsieur Fermat en janvier 1638. Il écrit au père minime que le Toulousain propose dans sa règle de formation des tangentes une reprise de la méthode dite de fausse position. Il lui reproche de raisonner par l'absurde (méthode de raisonnement qui passe à ses yeux pour la façon de démontrer la moins estimée et la moins ingénieuse de toutes celles dont on se sert en Mathématiques). Il vante auprès du père minime sa propre méthode, tirée, selon ses mots, d'une connaissance de la nature des équations et qui suit, selon lui, la plus noble façon de démontrer qui puisse être...
Jean de Beaugrand publie alors un pamphlet pour défendre Fermat contre le S. des C. (Sieur Descartes) sans mentionner les noms des protagonistes. Il expose les résultats de Fermat sur la détermination des tangentes. Il dénonce ceux, plus compliqués, de Descartes dont la méthode consiste à définir le cercle osculateur pour déterminer la tangente à partir de ce cercle.
Cercles osculateurs de Descartes
Dans sa géométrie, Descartes calcule, non les tangentes mais les cercles tangents. Florimond de Beaune applique cette méthode à la détermination des tangentes. Parmi tous les cercles tangents à une courbe, le cercle osculateur est celui qui possède avec elle le meilleur contactMarc Parmentier : La naissance du calcul différentiel page 122. Cette façon de déterminer la tangente demande que la courbe soit bi-régulière et dans les cas qui occupe Descartes, algébrique ; elle suppose en outre de lourds calculs et se place dans un cadre où l'orthogonalité joue un grand rôle ; c'est-à-dire un cadre euclidien. Or le problème des tangentes n'est nullement euclidien mais affine.
Jean Itard lit dans les publications de Beaugrand la preuve de la supériorité de Pierre de Fermat dans la compréhension de la nature affine du problème des contactsJ.Itard : À propos d'un livre sur Pierre Fermat page 340 in Revue d'histoire des sciences publiée chez Armand Colin (1974) . Selon ses mots, Fermat n'avait rien, ou presque, pour expliquer la nature affine de l'existence (et de la construction) des tangentes à une courbe ; car il ne s'agit pas d'un problème métrique. C'est pourtant ce qui le placera au-dessus de Descartes dans ce problème des tangentes où l'orthogonalité des axes de coordonnées n'est d'aucune importance. C'est ce que souligne Beaugrand dans son pamphlet anonyme.
Jugement des amis de Mersenne
Si Roberval et Étienne Pascal prirent le parti de Fermat, Claude Mydorge et Claude Hardy prirent celui de Descartes. Ce dernier félicita Hardy pour sa prise de position en 1638Victor Cousin : Œuvres de Descartes, Volume 7 page 57 :
Roberval possédait lui-même une méthode pour déterminer géométriquement les tangentesDossier Roberval par le Cagep de Levis-L auzon ; Condorcet la jugea fort ingénieuse, mais très inférieure à celles de Descartes et de FermatArthur O'Connor, François Arago : Œuvres de Condorcet, Volume 2 page 8 qui ajoute On a voulu trouver dans cette méthode l'origine de celle des fluxions ; mais le mérite de Newton n'est pas d'avoir employé la considération du mouvement pour faire entendre sa méthode ; c'est d'avoir donné des formules pour exprimer les fluxions, quelle que fût l'équation entre les lignes fluentes.
Ami de Fermat, Roberval en prit la défense, et affirma que Descartes n'entendait pas la méthode de Fermat. Cette réponse irrita Descartes, qui poursuivit dès lors Roberval de ses foudres.
Pour mettre fin à la polémique, Fermat transmit à Descartes une lettre où il décrivit plus précisément sa méthodeMÉTHODE DE MAXIMIS ET MINIMIS EXPLIQUÉE ET ENVOYÉE PAR M. FERMAT A M. DESCARTES. (lettre incomplète), lettre qui commence par ces mots : La méthode générale pour trouver les tangentes des lignes courbes mérite d'être expliquée plus clairement qu'elle ne semble l'avoir été.
En réalité Descartes a mal lu — ou mal compris — la méthode de Fermat, conclut dans son étude Michèle GrégoireMichèle Grégoire La correspondance entre Descartes et Fermat Volume 51 Numéro 51-2-3 pp. 355-362 ; le philosophe n'admettra d'ailleurs que du bout des lèvres« ce discours n'est pas très sincère, car dans une lettre qu'il adresse le même jour à Mersenne, il (Descartes) considère que la méthode de Fermat était erronée dès l'origine et qu'elle n'est devenue correcte qu'après les modifications qu'il avait lui-même proposées » note Michèle Grégoire dans La correspondance entre Descartes et Fermat Volume 51 Numéro 51-2-3 page 361 l'excellence de cette méthode préfigurant le calcul différentiel de LeibnizDans ses Leçons sur le calcul des fonctions, Lagrange attribue à Fermat un rôle prépondérant dans la genèse du calcul différentiel in Jean-Pierre Lubet : Le calcul différentiel et intégral dans l’Analyse démontrée de Charles René Reyneau ; on peut aussi retrouver cette idée dans J.-B. HIRIART-URRUTY
Mais il écrit néanmoins à Fermat Lettre du 27 juillet 1638 de Descartes à Fermat :