En mathématiques élémentaires, la règle de trois ou règle de proportionnalité ou produits en croix est une méthode mathématique permettant de déterminer une quatrième proportionnelle. Plus précisément, trois nombres , et étant donnés, la règle de trois permet, à partir de l'égalité des produits en croix, de trouver le nombre tel que soit proportionnel à . Ce nombre vaut :
Elle tire son nom de la présence d'une opération qui implique trois nombres (, et ).
La règle de trois est une méthode pouvant être utilisée pour résoudre les problèmes de proportionnalité, comme les distances parcourues à vitesse constante en fonction du temps, le prix à payer en fonction du poids en économie domestique ou les problèmes de dosage en technique de laboratoire. Elle se retrouve notamment dans le calcul de pourcentages, dans la résolution de problèmes de conversion d’unités, en application du théorème de Thalès ou encore dans la caractérisation de la colinéarité de deux vecteurs du plan à l’aide de leurs coordonnées.
La manière de présenter la règle de trois et la place qui lui est accordée dans l'enseignement français ont varié selon les époques. La question soulevée par son apprentissage est un point de discorde entre les tenants d'un enseignement fournissant des recettes et les tenants d'un enseignement présentant un savoir intelligible en construction.
Présentations de la règle
La règle de trois s'utilise quand il existe de manière évidente une proportionnalité entre deux variables comme le prix à payer en fonction de la quantité achetée en économie ou les relations entre les distances sur la carte et les distances sur le terrain dans des problèmes d'échelles. La règle de trois sous-tend la célèbre allitération, « si c'est six sous ces six saucissons-ci, c'est six-cent six sous ces six-cent six saucissons-là ».
Ainsi les trois problèmes suivants peuvent se résoudre par une règle de trois :
La manière de justifier cette procédure, fondamentale pour la compréhension des mathématiques, n'est pas unique et a varié au cours du temps.
Produits en croix C’est sous cette forme qu’elle est souvent maintenant présentée en FranceSocle commun de connaissances — sur le site Eduscol.. Dans un tableau de proportionnalité à quatre cases, le produit des termes situés dans une diagonale est égal au produit des termes situés dans l'autre diagonale. Ce résultat est connu depuis au moins Euclide sous le nom d'égalité du produit des extrêmes et du produit des moyens (dans une lecture de gauche à droite et de haut en bas).
Pour résoudre les problèmes précédents, il suffit alors de construire un tableau de proportionnalité incomplet : Masse en kg Prix en € 2 10 1,5
ou
Carte (distances en cm) 2 12,2 Terrain (distances en km) 15
Les produits en croix permettent d'écrire les équations suivantes et de trouver leurs solutions dans le premier tableau : donc dans le second tableau : donc
Le résultat final s’obtient donc en effectuant le produit des deux termes d’une diagonale et en divisant par le terme restant.
Réduction à l'unité Cette méthode met en place un discours plus explicatif permettant d'élucider la règle de trois pour la remplacer par une « règle de six ». Elle consiste à utiliser une étape en passant par l'unité.
Pour le problème 1 : pour acheter de fruits il faut ; pour acheter de fruits, il faut deux fois moins d'euros soit euros ; pour acheter de fruits, il faut 1,5 fois plus d'euros soit euros.
Pour le problème 2 : sur la carte représentent sur le terrain ; sur la carte représente deux fois moins de km sur le terrain c'est-à-dire km ; sur la carte représentent 12,2 fois plus de km, soit km.
Pour le problème 3 : 10 objets coûtent ; 1 objet coûte dix fois moins, c'est-à-dire ; 15 objets coûtent 15 fois plus, soit euros.
Elle fut enseignée sous cette forme dans les écoles françaises à différentes époques.
Coefficient de proportionnalité La méthode du coefficient de proportionnalité utilise une propriété voisine des tableaux de proportionnalité : dans un tableau de proportionnalité, on passe d'une ligne à l'autre (ou d'une colonne à l'autre) en multipliant par un coefficient constant appelé le coefficient de proportionnalité qui doit rester sous une forme exacte, éventuellement fractionnaire.
Ainsi le problème 1 fournit le tableau Masse en kg Prix en € 2 10 1,5
Le coefficient de proportionnalité pour passer de la première colonne à la seconde colonne est de 5 ou car . C'est ce même coefficient de proportionnalité qui permet de passer de 1,5 au nombre cherché. Le nombre cherché est donc .
De même le coefficient de proportionnalité pour passer de la première ligne à le seconde ligne est de car . C'est ce même coefficient de proportionnalité qui permet de passer de 10 au nombre cherché. Le nombre cherché est donc .
Rôle de la proportionnalité L'utilisation d'une règle de trois suppose que soit établie l'existence d'une proportionnalité entre les quantités en présence. Les Instituts universitaire de formation des maîtres (IUFM)Voir l'article de Roland Charnay de l'IUFM de Lyon ou celui de François Drouin de l'IUFM de Lorraine dans le bulletin de l'APMEP. soulèvent cet écueil : la règle de trois ne peut pas précéder la notion de proportionnalité.
Remplir un tableau à quatre cases ne garantit pas l'existence d'une proportionnalité et peut conduire à des contresens comme celui-ci
Il est toujours possible de construire un tableau Nombre d'ouvriers 4 6 Temps en jours 9 ?
Mais il est nécessaire de vérifier la proportionnalité avant de tenter d'appliquer la règle de trois. Ici la vérification consiste seulement à se demander . Normalement, la réaction de bon sens consiste à répondre non, et la règle de trois ne s'applique pas de manière directe (voir règle de trois inverse).
François Drouin. souligne la rareté des phénomènes de proportionnalité et évoque le fait que, même en économie domestique, il n'y a pas toujours proportionnalité entre la quantité achetée et le prix payé. La précision, , , , est souvent un non-dit de l'énoncé. Déjà au , Diderot et d'Alembert dans leur encyclopédie, pointaient du doigt cette contrainte, signalant qu'il ne leur semblait pas raisonnable d'imaginer qu'une citerne puisse se vider à débit constant et qu'il est donc peu réaliste de considérer que le temps nécessaire à vider une citerne soit proportionnel au volume d'eau qu'elle contientDenis Diderot et Jean Le Rond d'Alembert, Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, article règle de trois..
Le tableau de proportionnalité, construit avec plus de quatre cases, permet en outre de développer d'autres techniques pour déterminer une quatrième proportionnelle. Ainsi pour le problème 1, on peut observer qu'en prenant 4 fois moins de fruits, on doit payer quatre fois moins d'euros. On construit donc le tableau intermédiaire : Masse en kg Prix en € 2 10 0,5 2,5
Les propriétés sur les tableaux de proportionnalité permettent de dire que l'on peut créer une nouvelle ligne en sommant ou retranchant deux lignes. On peut ainsi créer la ligne solution du problème par soustraction des deux lignes précédentes : Masse en kg Prix en € 2 10 0,5 2,5 2 - 0,5 = 1,5 10 - 2,5 = 7,5
Cas des nombres entiers La règle de trois s'applique pour des quantités portionnables, nombres décimaux, fractionnaires ou réels. Il est difficile de l'utiliser lorsqu'une des quantités ne peut pas se diviser : nombre de pots de peinture nécessaire pour peindre les murs d'une pièce, nombre d'objets que l'on peut acheter avec une quantité d'argent donnée. Le résultat à fournir étant un nombre entier d'objets ou de pots, il s'agit d'arrondir le nombre, obtenu par l'application de la règle de trois, par excès ou par défaut selon la logique du problème.
Il peut aussi arriver que les deux quantités soient des entiers. Alors la règle de proportionnalité n'est pas vérifiée. Ainsi le problème
qui se présente comme les problèmes précédents doit être résolu, non par une règle de trois, mais par l'utilisation de divisions euclidiennes. Si avec 560 perles, on peut faire 11 colliers, combien de perles contient chaque collier ? 560 = 11 × 50 + 10 Chaque collier contient 50 perles (et il reste 10 perles non utilisées). Avec 9000 perles, combien peut-on faire de colliers de 50 perles ? 9000 = 50 × 180 Avec 9000 perles on peut donc faire 180 colliers L’application de la règle de trois aurait conduit à
qui, même arrondi à 177, n'aurait pas donné le bon nombre de colliers.
Extensions Règle de trois inverse Il y a des grandeurs qui diminuent à proportion d’un accroissement des données. Par exemple, si on demande en combien de temps construiront un certain mur que ont pu élever en , on considérera qu’il faut, pour construire un tel mur, un travail égal à
travail qui est, dans une large mesure, indépendant du nombre d’hommes ou du temps disponible, mais ne dépend que de la taille du mur. Ainsi, le temps recherché doit être tel que : 10 × = 180 donc = 18 jours. En résumé, la règle de trois s’écrit dans ce cas :
La réponse est donc pour .
Règle de trois composée On rencontre parfois des problèmes de proportion faisant intervenir deux « règles de trois » enchaînées, ou même plus. En voici un exemple :
Lagrange propose la règle suivanteLagrange, Leçons de mathématiques données à l’École normale de l’ (1795), Dunod, 1992, , lire en ligne. :
Dans l’exemple qu’on vient de donner, pour une même largeur de route, il faut plus d’ouvriers si la longueur de rue à paver augmente ; il faut moins d’ouvriers si la durée journalière de travail augmente ou si le nombre de jours accordé pour faire le travail augmente.
Donc le d’ouvriers cherché est donné par : .
Règle de trois dans l'enseignement français Produit des extrêmes et des moyens La recherche d'une quatrième proportionnelle est un problème très ancien puisqu'on en trouve trace déjà dans les Éléments d'Euclide. Celui-ci étudie, dans son livre V, la notion de grandeurs proportionnelles et celle de raison entre grandeurs : 4 grandeurs a, b, c, d sont proportionnelles si a est à b ce que c est à d. C'est-à-dire si la raison entre a et b est égale à la raison entre c et d – de nos jours on écrirait : . Il établit, dans son livre VII, la règle sur les proportions entre nombres entiers : quatre nombres sont proportionnels si et seulement si le produit du premier par le quatrième est égal au produit du second par le troisièmeÉléments d'Euclide, « livre VII, théorème 17, proposition XIX ».. Cette règle qui s'appelle aujourd'hui égalité des produits en croix se traduisait aussi souvent par l'expression : le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. C'est sur cette règle que se construisent alors les recherches de quatrième proportionnelle. On peut cependant remarquer qu'Euclide travaille sur des quantités de même nature (livre V) ou bien sur des entiers (livre VII). Ce n'est que plus tard que cette propriété est généralisée aux nombres rompus (ou fractionnaires), aujourd'hui appelés nombres rationnels.