En mathématiques, l’arc sinus d'un nombre réel compris (au sens large) entre −1 et 1 est l'unique mesure d'angle en radians dont le sinus vaut ce nombre, et comprise entre et .

La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 la valeur de son arc sinus est notée ( ou en notation française, et , parfois ou , en notation anglo-saxonne).

Il s'agit alors de la bijection réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique sinus à l'intervalle . Elle fait partie des fonctions circulaires réciproques.

On a donc par définition :

.

Courbe représentative Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc sinus est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction sinus à l'intervalle par la réflexion d'axe la droite d'équation .

Relations avec les fonctions circulaires directes

pour ; pour ; pour .

Par contre, seulement pour .

La formule générale est où est la partie entière de .

Dérivée Comme dérivée d'une bijection réciproque, est dérivable sur et vérifie :

Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque et à la relation :

Développement en série entière Si ,

(Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.)

Forme intégrale indéfinie Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :

Primitives Les primitives de l'arc sinus s'obtiennent par intégration par parties :

Relation entre arc sinus et arc cosinus right|upright=0.5|thumb| Représentations graphiques d' (en bleu) et d' (en rouge).

Pour tout réel entre −1 et 1 :

Extension aux complexes De la relation valable pour tout complexe : , on déduit .

D'où l'expression de la fonction arc sinus avec un logarithme complexe :

Le développement en série est alors valable pour tout dans le disque fermé de centre 0 et de rayon 1.

Références

Voir aussi

Articles connexes Arc cosinus Sinus hyperbolique réciproque Intégrale de Wallis (pour le développement de ) Loi arc sinus

Liens externes

, § 4.4, p. 79-83

Catégorie:Fonction trigonométrique