En topologie de , le théorème de Borel-Lebesgue ou de Heine-Borel établit l'équivalence entre les deux propriétés suivantesÀ la suite de ce théorème, beaucoup d'auteurs préfèrent définir les compacts de comme les ensembles fermés et bornés de vecteurs. Dans ce cas le théorème se lit : un sous-ensemble de est compact si et seulement s'il a la propriété de Borel-Lebesgue. Une autre approche est de définir les compacts, dans , comme les parties séquentiellement compactes : le fait que ces parties sont exactement les fermés bornés est élémentaire. d'un ensemble de vecteurs : est fermé et borné ( est borné s'il existe un réel positif majorant la norme de tous les éléments de ) ; est compact, c'est-à-direPlus précisément : est dit quasi-compact s'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue, et compact s'il est de plus séparé, mais dans qui est séparé, ces deux notions sont équivalentes. qu'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement de par des ouverts de on peut extraire un sous-recouvrement fini.
L'essentiel du théorème est : tout fermé borné de est compact car la réciproque est immédiateDans un espace séparé, tout compact est fermé et dans un espace métrique, il est de plus borné car précompact..
Ce théorème se généralise à tout -espace vectoriel normé de dimension finie mais n'est pas valable en dimension infinie.
Démonstration Le segment est compact.Soit un recouvrement ouvert du segment . On considère l'ensemble des points de tels que est recouvert par un nombre fini d'ouverts . Comme est non vide (il contient ) et inclus dans , il admet une borne supérieure . Cette borne appartient à un . Il existe alors tel que le segment soit inclus dans . Puisque est adhérent à , rencontre , en un point . En ajoutant U au recouvrement fini de , on obtient un recouvrement fini de , donc , donc , donc . Un produit fini de segments est compactUne démonstration de cette propriété et de ses conséquences pour la topologie de dans S. Lang, Analyse réelle, Paris, InterÉditions, 1977 , ..Ce résultat se déduit du lemme du tube, d'après lequel tout produit fini de compacts est compactLe théorème de Tychonov, bien plus difficile, montre qu'un produit quelconque de compacts est compact.. Tout fermé borné de est compact''.En effet, c'est un fermé d'un produit de segments donc d'un compact, or tout fermé d'un compact est compact.
Contre-exemple en dimension infinie
Considérons l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. On prend pour norme d'un polynôme le maximum des valeurs absolues respectives de ses coefficients. Soit la boule unité fermée. Elle est clairement fermée et bornée. Cependant, les éléments pour de sont à distance les uns des autres donc forment une suite sans sous-suite convergente donc ici sans valeur d'adhérence, ce qui empêche d'être compacte.
Bibliographie
Notes
Articles connexes Lemme de Cousin Espace de Montel
Borel Catégorie:Espace vectoriel topologique Catégorie:Émile Borel