En théorie des ensembles, l'exponentiation ensembliste est l'opération qui, à deux ensembles E et F, associe l'ensemble des applications de E dans F. Cet ensemble est souvent noté. F. On peut aussi le voir comme l'ensemble des familles indexées par E d'éléments de F :
Exemples ℝ désigne l'ensemble des suites réelles. Pour tout ensemble E non vide, il n'y a aucune application de E dans l'ensemble vide (l'existence d'une image dans ∅ pour tout élément de E ne pourra jamais être vérifiée). Donc ∅E = ∅ si E ≠ ∅. Pour tout ensemble F, il y a une seule application de l'ensemble vide dans F : l' (de graphe vide). L'ensemble F est donc un singleton.
Cardinal Quand E et F sont des ensembles finis, si l'on note |E| le cardinal d'un ensemble E, on démontre (voir l'article « Arrangement avec répétition ») :
Quand E ou F est infini, on peut prendre cette identité comme une définition de la fonction puissance sur les nombres cardinaux. On montre en effet que le cardinal de F ne dépend que des cardinaux respectifs de E et F.
Histoire Georg Cantor a introduit cette construction justement à cette finGeorg Cantor, , 1895, traduit et commenté sur Bibnum, § 4.. Ce qu'il appelait « recouvrementNe pas confondre avec Recouvrement (mathématiques). » ( en allemand) d'un ensemble N par un ensemble M est , c'est-à-dire ce que nous appelons aujourd'hui une application de N dans M. Il notait f(N) une telle application f, puis énonçait :
Notes et références
Articles connexes Catégorie des ensembles Exponentiation Objet exponentiel Opération ensembliste
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