La formule des compléments désigne une propriété de la fonction gamma :
Cette propriété a été découverte par Leonhard Euler.
Démonstration
On considère la fonction bêta
En posant complexe de partie réelle comprise entre 0 et 1, puis en faisant le changement de variables , on obtient l’égalité :
On calcule cette intégrale par le théorème des résidus. Pour cela, on définit le chemin suivant pour : le demi-cercle de rayon sur le demi-plan les deux segments l'arc de cercle
En choisissant et de sorte que le point soit dans le lacet, le théorème des résidus donne
En faisant tendre vers 0 et vers l’infini, il vient, par le lemme de Jordan, que les intégrales sur et tendent vers 0. D'autre part, en considérant les logarithmes complexes, il vient :
Ainsi, après simplifications, on a :
De plus :
Donc, en simplifiant
Il suffit alors de rappeler la définition de la fonction bêta à partir de la fonction Gamma d'Euler pour conclure.
Applications Pour des valeurs bien choisies, la formule des compléments permet de trouver des formules de calcul de par des produits infinis, en utilisant le produit eulérien
dont on déduit :
Par exemple, pour (), on retrouve le produit de Wallis :
De même, pour (), on trouve :
En réutilisant l'égalité établie pour , on obtient l'égalité suivante, remarquée déjà par Catalan:
Notes et références
Articles connexes Équation fonctionnelle de la fonction zêta
Liens externes
Catégorie:Théorème d'analyse