dereita|miniatura|150x150px| Diagrama de Eulerque mostra queA é un subconxunto de B (indicado como ) e, pola contra, B é un superconxunto de A (indicado ). En matemáticas, un conxunto A é un subconxunto dun conxunto B se todos os elementos de A son tamén elementos de B; B é daquela un superconxunto de A. É posíbel que A e B sexan iguais; se son desiguais, entón A é un subconxunto propio de B. A relación dun conxunto sendo un subconxunto doutro chámase inclusión. A é un subconxunto de B tamén se pode expresar como B inclúe (ou contén) A ou A está incluído (ou contido) en B. Un k-subconxunto é un subconxunto con k elementos.
A relación de subconxuntos define unha orde parcial en conxuntos. De feito, os subconxuntos dun conxunto dado forman unha álxebra de Boole baixo a relación de subconxuntos, coas operacións de intersección e unión, e a propia relación do subconxunto é a relación de inclusión booleana.
Definición Se A e B son conxuntos e cada elemento de A tamén é un elemento de B, daquela:
A é un subconxunto de B, denotado por , ou equivalentemente, B é un superconxunto de A, denotado por
Se A é un subconxunto de B, pero A non é igual a B (é dicir, existe polo menos un elemento de B que non é un elemento de A ), daquela:
A é un subconxunto propio de B, denotado por , ou equivalentemente, B é un superconxunto propio de A, denotado por
O conxunto baleiro, escrito ou é un subconxunto de calquera conxunto X e un subconxunto propio de calquera conxunto agás el mesmo, a relación de inclusión é unha orde parcial no conxunto (o conxunto de partes de S, o conxunto de todos os subconxuntos de S ) definido por .
Cando se cuantifica, represéntase como
Propiedades
Un conxunto A é un subconxunto de B se e só se a súa intersección é igual a A.
Formalmente:
Un conxunto A é un subconxunto de B se e só se a súa unión é igual a B.
Formalmente:
Un conxunto finito A é un subconxunto de B, se e só se a cardinalidade da súa intersección é igual á cardinalidade de A.
Formalmente:
Exemplos de subconxuntos miniatura| Os polígonos regulares forman un subconxunto dos polígonos.
O conxunto A = {1, 2} é un subconxunto propio de B = {1, 2, 3}, polo que ambas as expresións e son verdadeiras. Calquera conxunto é un subconxunto de si mesmo, pero non un subconxunto propio. ( é certo, e é falso para calquera conxunto X.) O conxunto {x : x é un número primo maior que 10} é un subconxunto propio de {x : x é un número impar maior que 10} O conxunto de números racionais é un subconxunto propio do conxunto de números reais. Neste exemplo, ambos os conxuntos son infinitos, pero o último conxunto ten unha cardinalidade maior que o conxunto anterior.
Outras propiedades da inclusión miniatura| e implica A inclusión é a orde parcial canónica, no sentido de que todo conxunto parcialmente ordenado é isomorfo a algunha colección de conxuntos ordenados por inclusión. Os números ordinais son un exemplo sinxelo: se cada n ordinal se identifica co conxunto de todos os ordinais menores ou iguais a n, daquela se e só se
Para o conxunto das partes dun conxunto S, a orde parcial de inclusión é, ata un isomorfismo de orde, o produto cartesiano de (a cardinalidade de S) copias da orde parcial en para o cal Isto pódese ilustrar enumerando , e asociando a cada subconxunto (é dicir, cada elemento de ) a k-tupla de dos que a coordenada i é 1 se e só se é membro de T.
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos teoría de conxuntos. Ligazóns externas
Categoría:Teoría de conxuntos