miniatura|Principia Mathematica, unha das obras máis importantes sobre filosofía das matemáticas. A filosofía das matemáticas é unha área da filosofía teórica, que trata de comprender e explicar os requisitos, o obxecto, o método e a naturezaNatura é a tradución latina da palabra grega physis (φύσις), que no seu significado orixinal gacía referencia á forma innata en que medran espontaneamente plantas e animais. Véxase: Physical. En lingua alemá o vocábulo "natureza" provén de naturist, que significa "o curso dos animais, carácter natural". Véxase: Nature das matemáticas. Como área de estudo pode ser aproximada dende dúas direccións: o punto de vista dos filósofos e o dos matemáticos. Dende o punto de vista filosófico, o obxectivo principal é dilucidar unha variedade de aspectos problemáticos na relación entre as matemáticas e a filosofía. Dende o punto de vista matemático, o interese principal é prover o coñecemento matemático de fundamentos firmes. É importante manter presente que aínda que estes puntos de vista poden implicar diferentes esquemas e intereses, non son opostos, senón máis ben complementarios: «Cando os matemáticos profesionais se ocupan dos fundamentos da súa disciplina, dise que se dedican á investigación fundamental (ou traballo fundacional ou de fundamentos, metamatemática). Cando os filósofos profesionais investigan cuestións filosóficas relativas ás matemáticas, dise que contribúen á filosofía das matemáticas. Por suposto, a distinción entre a filosofía das matemáticas e os fundamentos das matemáticas é vaga, e á maior interacción que hai entre os filósofos e os matemáticos que traballan en cuestións relativas á natureza das matemáticas, mellor».Horsten, Leon, Philosophy of Mathematics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2012 Edition), Edward N. Zalta (ed.) De acordo a Jeremy Avigad (profesor de ciencias matemáticas e de filosofía na Universidade Carnegie Mellon) “o coñecemento matemático foi considerado por moito tempo como un paradigma do coñecemento humano con verdades que son á vez necesarias e certas, polo que dar unha explicación do coñecemento matemático é unha parte importante da epistemoloxía. Os obxectos matemáticos, tales como os números e os conxuntos, son exemplos arquetípicos de abstraccións, dado que o tratamento de tales obxectos no noso discurso é como se fosen independentes do tempo e o espazo, atopar un lugar para os obxectos deste tipo nun marco máis amplo do pensamento é unha tarefa central da ontoloxía, ou metafísica. O rigor e a precisión da linguaxe matemática depende do feito de que está baseada nun vocabulario limitado e gramática moi estruturadas, e as explicacións semánticas do discurso matemático moitas veces serven como punto de partida da filosofía da linguaxe. Aínda que o pensamento matemático demostrou un alto grao de estabilidade a través da historia, a súa práctica tamén evolucionou co tempo, e algúns desenvolvementos provocaron controversia e debate; clarificar os obxectivos básicos desta práctica e os métodos apropiados é, polo tanto, unha tarefa metodolóxica e fundacional importante, situando a filosofía das matemáticas dentro da filosofía xeral da ciencia. De acordo a Bertrand Russell, as matemáticas son un estudo que, cando se parte das súas porcións máis familiares, pode levarse a cabo en calquera de dúas direccións opostas (unha procura a expansión do coñecemento, a outra darlle fundamentos). Mais débese entender que a distinción é unha, non na materia obxecto, senón no estado da mente do investigador (...) Así como precisamos dous tipos de instrumentos, o telescopio e o microscopio, para a ampliación das nosas capacidades visuais, igual precisamos dous tipos de instrumentos para a ampliación das nosas capacidades lóxicas, unha para facernos avanzar ás matemáticas superiores, e o outro que nos leve cara a atrás, cara aos fundamentos lóxicos das cousas que estamos inclinados a tomar por sentado nas matemáticas. Veremos que mediante a análise das nocións matemáticas ordinarias se adquire unha nova perspectiva, novos poderes, e os medios de chegar a novos temas matemáticos completos, mediante a adopción de novas liñas de avance, seguindo a nosa viaxe cara a atrás.Bertrand Russell: Introduction to Mathematical Philosophy chap 1
Como xa se suxeriu, estas aproximacións non son conflitivas. Nas palabras de Imre Lakatos: «Ao discutir os esforzos modernos para establecer os fundamentos do coñecemento matemático un tende a esquecer que eses son só un capítulo no grande esforzo para superar o escepticismo e implantar os fundamentos do coñecemento en xeral. O propósito da miña contribución é mostrar a filosofía matemática moderna como profundamente inserida na epistemoloxía xeral e, xa que logo, só entendible neste contexto ». (énfase de LakatosI Lakatos: “Infinite regress and foundations of mathematics” en Mathematics, science and epistemology Cambridge U Press, 1978, p. 4).
Introdución Dende a antigüidade a filosofía tivo interese en, polo menos, certos aspectos da matemática.Por exemplo: Iván Pedro Guevara V (2008): "A filosofía considerou sempre a matemática como un dos obxectos principais das súas investigacións,.. " en La filosofía de la matemática: la razón de ser del número. Diego Fusaro: "Sempre hai unha relación inseparable entre a matemática e a filosofía." en IL RAPPORTO FILOSOFIA - MATEMATICA (en italiano no orixinal) nas palabras de Miguel de Guzmán: "Pero hai outros aspectos interesantes da matemática que atraen de modo natural o filósofo. A dinámica interna do pensamento matemático, a lóxica da súa estrutura, simple, tersa, sobria, clara, fan dela un modelo de reflexión fiable que suscita o consenso de todos. Os filósofos interesados en aclarar os misterios do coñecemento humano viron no pensamento matemático un campo ideal de traballo onde pór a proba as súas hipóteses e teorías.".M de Guzmán: Filosofía e matemáticas Mario Bunge vai máis lonxe e chega a suxerir que as matemáticas son non só o fundamento da tarefa científica senón tamén do filosófico.Adianez Fernández Bermúdez: Unha visión da ciencia e a súa relación coa ética, en Mario Bunge
Por moito dese tempo a opinión xeral era a que Carl Friedrich Gauss resumiu: «A matemática é a raíña das ciencias e a aritmética é a raíña das matemáticas. Ela con frecuencia se digna a prestar un servizo á astronomía e a outras ciencias naturais, mais en todas as relacións, ten dereito á primeira fila».R Gauss: frases célebres de ou sobre Carl Friedrich Gauss. Esta preeminencia debíase a unha percepción que, en última instancia, emana de Platón: "Nas matemáticas áchase a orixe e o fundamento da teoría platónica das formas ou ideas. Nesta, a idealización dos entes matemáticos transfórmase na idealización dos entes físicos e psíquicos. A verdade matemática, pola súa invariabilidade no tempo, era o modelo a seguir en todo coñecemento intelectual. O método dedutivo, que partindo de axiomas e definicións chegaba á demostración de teoremas, era o modelo prestixioso de razoamento para todo saber. No diálogo "Menón", Sócrates, a través de preguntas e respostas, fai que un escravo alcance polo seu propio razoamento unha verdade matemática; así, dun xeito popular, expón Platón que as matemáticas están na alma humana, xa que nesta se acha presente o logos que goberna o mundo material mediante as proporcións aritméticas e xeométricas. Só se require a introspección para volvernos conscientes dese saber interno".
Esa posición é xeralmente coñeceda como realismo, platonismo ou realismo platónico e "de maneira moi esquemática, pode sintetizarse na crenza de que os obxectos matemáticos son reais e a súa existencia é un feito obxectivo e independente do noso coñecemento dos mesmos. Existen fóra do espazo e do tempo da experiencia física e calquera pregunta significativa sobre eles ten unha resposta definida. Así, o matemático é, neste senso, como un científico empírico que non pode inventar ni construír senón só descubrir algo que xa existe.José Luis Gómez Pardo: “Observaciones sobre la naturaleza de la Matemática”, en Luis Puelles et al. (Wenceslao J. González edt) (1988): Aspectos Metodolóxicos de la Investigación Científica: Un Enfoque Multidisciplinar páx. 127 Acorde co físico Paul Davies: "Os científicos non empregan as matemáticas simplemente como unha forma conveniente de organizar os datos. Cren que as relacións matemáticas reflicten aspectos reais do mundo físico".
Non obstante, cara a finais do século XIX esta situación comezou a cambiar, proceso que eventualmente culminou, a fins do século XIX e comezos do XX, na chamada crise dos fundamentos:JAVIER DE LORENZO: "La matemática: de sus fundamentos y crisis"- Tecnos, MadridJOSÉ M. FERREIRÓS: The Crisis in the Foundations of Mathematics (en Princeton Companion to Mathematics Proof)Herman Weyl On the New Foundational Crisis in MathematicsMario O. González (1950): La crisis actual de los fundamentos de la Matemática "A imaxe tradicional das matemáticas (formal e infalible) foi cuestionada a raíz da chamada "crise dos fundamentos das matemáticas", que tivo lugar no século XIX. Dita "crise" orixinouse principalmente por dous descubrimentos: primeiro o das xeometrías non euclidianas e, segundo, o da teoría de conxuntos".
Esa situación foi resumida da seguinte maneiraJosé Luis Gómez Pardo: “Observaciones sobre la naturaleza de la Matemática”, en Luis Puelles et al. (Wenceslao J. González edt) (1988): Aspectos Metodológicos de la Investigación Científica: Un Enfoque Multidisciplinar páx. 125- 156:
"Ata ben entrado o século XIX, a xeometría era universalmente considerada a rama máis firme do coñecemento.... A xeometría era, simplemente, o estudo das propiedades do espazo. Estas manifestábanse como verdades obxectivas, universalmente válidas para a mente humana. Durante o século XIX sucederon “varios desastres que ían cambiar completamente esta situación. O primeiro foi o descubrimento de xeometrías non euclidianas, ao que inmediatamente seguiu outro desastre maior: o desenvolvemento da análise por camiños contrarios á intuición xeométrica (curvas que enchen o espazo, funcións continuas non diferenciables etc.) o que puxo de manifesto a gran vulnerabilidade do único fundamento que ata entón tiñan as Matemáticas: a intuición xeométrica. Isto era unha auténtica catástrofe posto que nalgún sentido implicaba a perda da certeza, non só na Matemática senón en todo o coñecemento humano. Pensouse entón buscar outra “base segura” para fundamentar as Matemáticas, e así Dedekind e Weierstrass mostraron como era posible construír a análise (o continuo) a partir da aritmética. Parecía que todo volvía estar en orde, pues ninguén dubidaba da certeza proporcionada pola nosa intuición de contar e así os números enteiros serían a nova base segura para todo o edificio matemático... (programa de Hilbert). Mais o intento de fundamentar rigorosamente a Matemática ía ser levado un paso máis lonxe por Frege, quen comezou un ambicioso programa para basear as Matemáticas na Lóxica, a través da Aritmética. Este foi o punto de partida da escola loxicista que máis tarde sería continuada por Russell e Whitehead. A idea loxicista consistía en demostrar que a Matemática clásica era parte da lóxica, de modo que unha vez culminado o seu programa podería asegurarse que a Matemática estaba libre de contradición polo menos na mesma medida que a propia lóxica.