En matemáticas, unha fracción continua é unha expresión obtida mediante un proceso iterativo de representar un número como a suma da súa parte enteira e o recíproco doutro número, e escribir este outro número como a suma da súa parte enteira e outra recíproca, e así continuadamente. Todos os números enteiros da secuencia, agás o primeiro, deben ser positivos. Os enteiros chámanse coeficientes ou termos da fracción continua.
Para un número irracional ten unha forma infinita do tipo:
que se pode escribir de forma abreviada como:
En xeral, asúmese que o numerador de todas as fraccións é 1. Nese caso chámase fracción continua simple ou regular, ou dicimos que está en forma canónica. Se se usan valores ou funcións arbitrarias en lugar dun ou máis dos numeradores a expresión resultante é unha fracción continua xeneralizada.
As fraccións continuas teñen unha serie de propiedades notables relacionadas co algoritmo de Euclides para números racionais ou reais. Todo número racional ten dúas expresións estreitamente relacionadas como fracción continua finita, cuxos coeficientes poden determinarse aplicando o algoritmo de Euclides a . O valor numérico dunha fracción continua infinita é irracional. Esta forma de expresar números reais (racionais e irracionais) chámase expansión en fracción continua.
O termo fracción continua tamén pode referirse a representacións de funcións racionais, xurdidas na súa teoría analítica. Para este uso do termo, pode consultar os conceptos aproximante de Padé e función racional de Chebyshev.
Motivación e notación Considere, por exemplo,o número racional , que é aproximadamente 4.4624. Como primeira aproximación, comezamos por 4, que é a parte enteira de . Agora da parte fraccional calculamos o recíproco , aproximadamente 2.1628. Usamos a parte enteira, 2, e obtemos unha segunda aproximación Agora imos repetindo o proceso coas partes fraccionais que van aparecendo, = 2 + . Collemos o recíproco da parte fraccional aproximadamente 6.1429. Usamos 6 para formar unha nova approximación de = = 4 + . E continuamos con . Aquí chegamos ao final do proceso pois, , é unha fracción unitaria, así logo conseguimos unha expresión exacta, algo enrevesada mais útil en certos casos, de fraccións continuas,
E pode representarse de forma abreviada como .
Se o número inicial é racional, entón este proceso é coincidente co algoritmo de Euclides aplicado ao numerador e denominador do número. En particular, debe terminar e producir unha representación finita de fracción continua do número. Se o número inicial é irracional, o proceso continúa indefinidamente. Exemplos de representacións en fracción continua de números irracionais son:
. Coeficientes repetidos con período 6. . Tamén con un padrón que agrega 2 cada tres termos. . Non se deu atopado padrón. , . A razón aurea, sería o número irracional máis distanciado dun número racional. . A Constante de Euler-Mascheroni, que se pensa que é irracional e tampouco non ten un padrón recoñecíbel.
As fraccións continuas teñen varias propiedades desexabeis:
A representación en fracción continua para un número real é finita se e só se é un número racional. Pola contra, a representación decimal dun número racional pode ser infinita. Cada número racional ten unha representación de fracción continua simple esencialmente única. Cada racional pode representarse exactamente de dúas maneiras, xa que = . Normalmente escóllese a primeira, máis curta, como representación canónica. A representación da fracción continua regular dun número irracional é única. Os números reais cuxa fracción continua se repite son precisamente os irracionais cadráticos. Por exemplo, a fracción continua que se repite [1;2,2,2,...] é a raíz cadrada de 2. As raíces cadradas de todos os números enteiros (positivos) que non son cadrados perfectos son irracionais cadráticos e, por tanto, fraccións continuas periódicas únicas. (véxase medias metálicas) As aproximacións sucesivas xeradas ao atopar a representación da fracción continua dun número, é dicir, ao truncar a representación en fracción continua, son en certo sentido (descrito máis adiante) as "mellores posíbeis" e se chaman converxentes.
Cálculo de expansións en fracción continua Hai varias maneiras de calcular a fracción continua correspondente a un número real, imos ver con dous exemplos a que usa o algoritmo de Euclides e a que usa os inversos multiplicativos.
Algoritmo de Euclides para , a fracción continua son os cocientes, numerador denominador cociente (coeficientes da fracción continua) resto 73 20 3 13 20 13 1 7 13 7 1 6 7 6 1 1 6 1 6 0
.
Usando os recíprocos para , os coeficientes son a parte enteira dos recíprocos que se van producindo no proceso
coeficiente resta recíproco 2 0.7182818 1.3922111 1 0.3922111 2.5496467 2 0.5496467 1.8193502 1 0.8193502 1.2204792 1 0.2204792 4.5355734 4 0.5355734 1.8671574 1 ... ...
.
Notacións Os enteiros , etc., chámanse coeficientes ou termos da fracción continua. Como a representación
ocupa moito espazo temos outras representacións, como por exemplo
Ou nos casos de numerador sempre 1 temos unha notación moi cómoda como unha lista
Carl Friedrich Gauss utilizou unha notación que lembra a notación de suma,
Recíprocos Conseguimos o recíproco simplemente agregando un cero pola esquerda
e .
Por exemplo,
e .
Que podemos comprobar vendo os converxentes como se describirá na seguinte sección: + Converxentes de [2, 4] a 2 4 p 1 2 9 q 0 1 4 + Converxentes de [0, 2, 4] a 0 2 4 p 1 0 1 4 q0 1 2 9
O último é o resultado da fracción continua.
Fraccións continuas infinitas e converxentes Unha expansión en fracción continua infinita para un número irracional é útil porque os sucesivos truncamentos iniciais proporcionan aproximacións racionais ao número. Estes números racionais chámanse converxentes da fracción continua. Os converxentes pares son máis pequenos que o número orixinal, mentres que os impares son maiores.
Cada converxente pódese expresar explicitamente en termos da fracción continua como a razón de certos polinomios multivariados chamados continuantes.
Para a fracción continua , os converxentes veñen dados pola fórmula recorrente
.
.
Por exemplo, os converxentes para a constante de Euler–Mascheroni, , ,
+ Converxentes a 0 1 1 2 1 2 1 4 3 13 p 1 0 1 1 3 4 11 15 71 228 3035 q0 1 1 2 5 7 19 26 123 395 5258
e comprobamos que o noveno converxente
Os converxentes mostran a súa verdadeira utilidade na aproximación dos números irracionais. Máis adiante podemos velo nas expansións de .
Propiedades alxébricas Un espazo de Baire é un espazo topolóxico sobre secuencias infinitas de números naturais. A fracción continua infinita proporciona un homeomorfismo do espazo de Baire ao espazo dos números reais irracionais (coa topoloxía subespacial herdada da topoloxía habitual dos reais). A fracción continua infinita tamén proporciona un mapa entre os irracionais cadráticos e os racionais diádicos, e doutros irracionais ao conxunto de cadeas infinitas de números binarios (é dicir, o conxunto de Cantor); este mapa chámase función de signo de interrogación de Minkowski.
O mapeo ten propiedades fractais autosimilares interesantes; estas veñen dadas polo grupo modular, que é o subgrupo de transformacións de Möbius que teñen valores enteiros na transformada. En liñas xerais, os converxentes da fracción continua pódense considerar transformacións de Möbius que actúan no semiplano superior (hiperbólico); isto é o que leva á autosimetría fractal.
A distribución de probabilidade límite dos coeficientes na expansión continua de fraccións dunha variábel aleatoria uniformemente distribuída en (0, 1) é a distribución de Gauss-Kuzmin.
A media aritmética dos coeficientes dunha fracción continua dun número irracional é unha constante, Constante de Khinchin (salvo irracionais con fraccións continuas períodicas).
Algúns teoremas útiles Se é unha sucesión infinita de enteiros positivos, definimos as sucesións e recursivamente do seguinte moso:
Teorema 1. Para todo número real positivo
Teorema 2. Os converxentes de veñen dados polos sucesivos truncamentos da fracción continua
,
ou en forma de matriz,
Teorema 3. Se o -ésimo converxente da fracción continua é daquela
ou equivalentemente
Corolario 1: Todo converxente está nos seus termos máis baixos.
Corolario 2: a diferenza entre converxentes sucesivos é unha fracción cuxo numerador é a unidade.
Corolario 3: a fracción continua pode expresarse como unha serie alterna:
Corolario 4: A matriz
ten determinante , e, polo tanto, pertence ao grupo de matrices unimodulares de ,
Corolario 5: A matriz ten determinante , ou equivalentemente,
o que significa que os termos impares diminúen monótonamente, mentres que os termos pares aumentan monótonamente.
Corolario 6: A secuencia de denominadores satisfai a relación de recorrencia , e medra polo menos tan rápido como a secuencia de Fibonacci, que medra como onde é a proporción áurea.
Teorema 4. Todo converxente está máis próximo do seguinte converxente que calquera converxente precedente.
Corolario 1: Os converxentes pares (antes do -ésimo) aumentan continuamente, mais sempre son menores que
Corolario 2: Os converxentes impares (antes do -ésimo) diminúen continuamente, mais sempre son maiores que
Teorema 5.
Corolario 1: un converxente está máis preto do límite da fracción continua que calquera fracción cuxo denominador sexa menor que o do converxente.
Corolario 2: un converxente obtido terminando a fracción continua xusto antes dun coeficiente grande é unha aproximación moi preto ao límite da fracción continua.
Teorema 6: Considere o conxunto de todos os intervalos abertos con puntos finais . Denotámolo como . Calquera subconxunto aberto de é unha unión disxunta de conxuntos de . Corolario 1: a fracción continua infinita proporciona un homeomorfismo desde o espazo de Baire ata .
Semiconverxentes Se son converxentes consecutivos
daquela calquera fracción da forma onde é un número enteiro tal que , chámanse semiconverxentes, converxentes secundarios ou fraccións intermedias.
Mellor racional dentro dun intervalo Un racional que cae dentro do intervalo (, ), para , pode atoparse coas fraccións continuas de e . Se ambos os dous son irracionais e
onde e teñen expansións idénticas até ,entón un racional que cae dentro do intervalo (, ) vén dado pola fracción continua finita, .
Este racional será mellor no sentido de que ningún outro racional en (, ) terá un numerador ou un denominador menor.
Se é racional, terá dúas representacións de fracción continua que son finitas, e , e do mesmo xeito un racional terá dúas representacións, e . Os coeficientes máis aló do último en calquera destas representacións deberían interpretarse como ; e o mellor racional será un de entre , , ou .
Por exemplo, a representación decimal 3.1416 pódese redondear a partir de calquera número do intervalo [3.14155, 3.14165). As expansións de 3.14155 e 3.14165 son
e o mellor racional entre estes dous é , corresponde ao número decimal aproximado a 3.1416, que é o mellor no sentido de que ningún outro número racional que se redondea a 3.1416 terá un numerador ou un denominador menor.
Teorema de Legendre sobre as fraccións continuas No seu Essai sur la théorie des nombres (1798), Adrien-Marie Legendre deriva unha condición necesaria e suficiente para que un número racional sexa un converxente da fracción continua dun número real dado. Unha consecuencia deste criterio, a miúdo chamado teorema de Legendre dentro do estudo das fraccións continuas, é a seguinte:
Teorema. Se é un número real e , son enteiros positivos tales que , entón é un converxente da fracción continua de .
Comparación Considere e . Se é o índice máis pequeno para o cal é desigual a , entón se e en caso contrario.
Se non existe tal , pero unha expansión é máis curta que a outra, digamos e con para , entón se é par e se é impar.