En matemáticas, un conxunto é contábel ou numerábel se é finito ou se pode facer unha correspondencia un a un co conxunto de números naturais.De forma equivalente, un conxunto é contábel se existe unha función inxectiva a partir dos números naturais; isto significa que cada elemento do conxunto pode estar asociado a un número natural único, ou que os elementos do conxunto poden ser contados un a un, aínda que o reconto pode nunca rematar debido a un número infinito de elementos.

Asumindo o axioma de escolla contábel, un conxunto é contábel se a súa cardinalidade (o número de elementos do conxunto) non é maior que a dos números naturais. Un conxunto numerábel que non é finito dise que é numerabelmente infinito ou contabelmente infinito .

O concepto atribúese a Georg Cantor, quen demostrou a existencia de conxuntos non numerábeis, é dicir, conxuntos que non son contábeis; por exemplo o conxunto dos números reais.

Definición Un conxunto é contábel se:

A súa cardinalidade é menor ou igual a (aleph-cero, a cardinalidade do conxunto de números naturais . Existe unha función inxectiva de a . é baleiro ou existe unha función sobrexectiva de a . Existe un mapeo bixectivo entre e un subconxunto de . é finito ( ) ou contabelmente infinito.

Todas estas definicións son equivalentes.

Un conxunto é contabelmente infinito se:

A súa cardinalidade é exactamente . Hai un mapeo inxectivo e sobrexectivo (e polo tanto bixectivo) entre e . ten unha correspondencia un a un con . Os elementos de pódense ordenar nunha secuencia infinita , onde é distinto de para e cada elemento de é listado.

Un conxunto é non numerábel se non é numerábel, é dicir, a súa cardinalidade é maior que .

Introdución miniatura|125x125px| Mapa bixectivo de enteiros a números pares Algúns conxuntos son infinitos; estes conxuntos teñen máis de elementos onde é calquera número enteiro que se poida especificar. Por exemplo, o conxunto de números naturais, que serían , ten infinitos elementos, e non podemos usar ningún número natural para dar o seu tamaño. Por exemplo, hai infinitos enteiros impares, infinitos enteiros pares e tamén infinitos enteiros en xeral. Podemos considerar que todos estes conxuntos teñen o mesmo "tamaño" porque podemos organizar as cousas de forma que, para cada número enteiro, haxa un número dese conxunto distinto, por exemplo para os pares podemos estabelecer unha función bixectiva:ou, máis xenralmente, (ver imaxe). Esta noción matemática de "tamaño", cardinalidade, é que dous conxuntos son do mesmo tamaño se e só se hai unha bixección entre eles. Chamamos infinitos a todos os conxuntos que están en correspondencia un a un cos números enteiros e dicimos que teñen cardinalidade .

Georg Cantor demostrou que non todos os conxuntos infinitos son contábeis. Por exemplo, os números reais non se poden poñer en correspondencia un a un cos números naturais (números enteiros non negativos). O conxunto de números reais ten unha cardinalidade maior que o conxunto de números naturais e dise que é non numerábel.

Visión xeral formal Por definición, un conxunto é contábel se existe unha bixección entre e un subconxunto dos números naturais .

No caso dos conxuntos infinitos, un conxunto é contabelmente infinito se hai unha bixección entre e todo . Como exemplos, considere o conxunto , o conxunto de enteiros positivos, temos a bixección e para o conxunto , os enteiros pares, temos a bixección .

Teorema:  Todo subconxunto dun conxunto contábel é contábel.

O conxunto de todos os pares ordenados de números naturais, o produto cartesiano de dous conxuntos de números naturais, é contabelmente infinito, como se pode ver seguindo un camiño como o da imaxe: miniatura|300x300px| A función de emparellamento de Cantor asigna un número natural a cada par de números naturais O mapeo resultante sería do seguinte xeito:

Teorema: O produto cartesiano de finitamente moitos conxuntos contábeis é contábel. O conxunto de todos os números enteiros e o conxunto de todos os números racionais intuitivamente poden parecer moito máis grandes que . Mais desde o punto de vista da cardinalidade isto non é así, se un par é tratado como o numerador e o denominador dunha fracción ( onde e son enteiros), entón para cada fracción positiva, podemos chegar a un número natural distinto que lle corresponda.

Teorema:  (conxunto de todos os enteiros) e (conxunto de todos os números racionais) son contábeis.

De xeito semellante, o conxunto de números alxébricos é contábel.

Teorema: Calquera unión finita de conxuntos countábeis é contábel.

 Teorema: (asumindo o axioma de escolla contábel) A unión de contabelmente moitos conxuntos contábeis forma un conxunto contábel.

miniatura|300x300px| Enumeración dun número contábel de conxuntos contábeis Necesitamos o axioma de escolla contábel para indexar todos os conxuntos simultaneamente.

Teorema: O conxunto de todas as secuencias de números naturais é contábel.

Teorema: O conxunto de todos os subconxuntos finitos dos números naturais é contábel.

Teorema:  Sexan os conxuntos e . Se a función é inxectiva e é contábel, daquela é contábel. Se a función é sobrexectiva e é contábel, daquela é contábel.

Isto segue das definicións de conxunto contábel como funcións inxectivas/sobrexectivas.

O teorema de Cantor afirma que se é un conxunto e é o seu conxunto de partes, é dicir, o conxunto de todos os subconxuntos de , entón non hai función sobrexectiva de a . Unha demostración dáse no artigo Teorema de Cantor. Como consecuencia inmediata disto e do teorema básico anterior temos:  Proposición: O conxunto non é contábel; isto é, e non numerábel.

O conxunto dos números reais é non numerábel, e tamén o é o conxunto de todas as secuencias infinitas de números naturais.

Orde total Os conxuntos contábeis pódense ordenar totalmente de varias maneiras, por exemplo:

Ben ordenado (ver tamén número ordinal): A orde habitual dos números naturais (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...) Os enteiros na orde (0, 1, 2, 3, ...; −1, −2, −3, ...) Outros (non ben ordenados): A orde habitual dos números enteiros (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...) A orde habitual dos números racionais (Non se pode escribir explicitamente como unha lista ordenada!)

Nos dous exemplos de ordes ben ordenadas, calquera subconxunto ten un elemento menor; mais en ambos os dous exemplos de non ben ordenados, algúns subconxuntos non teñen un elemento menor. Esta é a definición clave que determina se unha orde total tamén é unha orde ben ordenada.

Notas

Véxase tamén Bibliografía

Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. (Paperback edition).

Outros artigos Número Aleph Paradoxo de Hilbert do Gran Hotel Conxunto non numerábel

Categoría:Teoría de conxuntos