miniatura| Dividimos 17 en 3 grupos de 5, quedando 2. Aquí, o dividendo é 17, o divisor é 3, o cociente é 5 e o resto é 2 (que é estritamente menor que o divisor 3), ou máis simbólicamente, 17 = (3 × 5) + 2. En aritmética, a división euclidiana (ou división con resto) é o proceso de dividir un número enteiro (o dividendo) por outro (o divisor), de forma que se produce un cociente enteiro e un resto natural estritamente menor que o valor absoluto do divisor. Unha propiedade fundamental é que o cociente e o resto existen e son únicos, baixo algunhas condicións. Os métodos de cálculo chámanse algoritmos de división enteira, sendo o máis coñecido a división longa.
Teorema da división A división euclidiana baséase no resultado, ás veces chamado lema de división de Euclides, que mostramos a conyinuación.
Dados dous números enteiros e , con , existen números enteiros únicos e tal que
e
,
onde denota o valor absoluto de .
No teorema anterior, cada un dos catro enteiros ten un nome propio: chámase , chámase , chámase e chámase .
Xeneralización Aínda que orixinalmente foi pensada para números enteiros, a división euclidiana e o teorema da división poden xeneralizarse a polinomios univariados sobre un corpo e a dominios euclidianos.
No caso dos polinomios, temos que a principal diferenza é que as desigualdades substitúense por
onde denota o grao do polinomio.
Na xeneralización a dominios euclidianos, a desigualdade descríbese como
onde denota unha función específica do dominio aos números naturais chamada "función euclidiana".
Exemplos
Se a = 7 e b = 3, entón q = 2 e r = 1, xa que 7 = 3 × 2 + 1. Se a = 7 e b = −3, entón q = −2 e r = 1, xa que 7 = −3 × (−2) + 1. Se a = −7 e b = 3, entón q = −3 e r = 2, xa que −7 = 3 × (−3) + 2. Se a = −7 e b = −3, entón q = 3 e r = 2, xa que −7 = −3 × 3 + 2.
En termos de notación decimal, a división longa proporciona un algoritmo eficiente para resolver divisións euclidianas. A súa xeneralización á notación binaria e hexadecimal proporciona máis flexibilidade e posibilidades de implementación en aplicacións informáticas. No entanto, para números grandes, adoitan preferirse os algoritmos que reducen a división á multiplicación, como o método de Newton-Raphson, porque só necesitan un tempo proporcional ao tempo da multiplicación necesario para verificar o resultado, independentemente do algoritmo de multiplicación que use.
Variantes A división euclidiana admite unha serie de variantes, algunhas delas enuméranse a continuación.
Outros intervalos para o resto Na división euclidiana con como divisor, o resto pertence ao intervalo de lonxitude . Poderase utilizar calquera outro intervalo da mesma lonxitude. Por exemplo, dados os enteiros , , con , existen números enteiros únicos e con tal que .
En particular, se entón . Esta división chámase división centrada e o seu resto chámase resto centrado ou resto mínimo absoluto.
Isto úsase para aproximar números reais: a división euclidiana define o truncamento, e a división centrada define o redondeo.
División de Montgomery Dados os números enteiros , e con e sexa o inverso multiplicativo modular de (é dicir, con sendo múltiplo de ), entón existen números enteiros únicos e con tal que . Este resultado xeneraliza a división impar de Hensel (1900).
O valor é o N-residuo definido na redución de Montgomery.
En dominios euclidianos Os dominios euclidianos (tamén coñecidos como aneis euclidianos) defínense como dominios de integridade que admiten a seguinte xeneralización da división euclidiana:
Dados un elemento e un elemento distinto de cero nun dominio euclidiano equipado cunha función euclidiana (tamén coñecida como valoración euclidiana ou función de grao ), existen e en tal que e a maiores ou .
Non se require a unicidade de e . Ocorre só en casos excepcionais, normalmente para polinomios univariados, e para números enteiros, se se engade a condición adicional .
Exemplos de dominios euclidianos inclúen os corpos, os aneis polinómicos nunha variable sobre un corpo e tamén os enteiros gaussiano. A división euclidiana de polinomios ten sido obxecto de desenvolvementos específicos.
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Lema de Euclides Algoritmo de Euclides Algoritmo de Euclides estendido
Categoría:Teoría de números Categoría:Álxebra Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas