En combinatoria, a identidade de Vandermonde (ou a convolución de Vandermonde ) é a seguinte identidade para os coeficientes binomiais:
para calquera enteiros non negativos r, m, n. A identidade leva o nome de Alexandre-Théophile Vandermonde (1772), aínda que xa era coñecida en 1303 polo matemático chinés Zhu Shijie..
Existe un q-análogo a este teorema chamado identidade q-Vandermonde.
A identidade de Vandermonde pódese xeneralizar de moitas maneiras, incluíndo a identidade
Probas
Demostración alxébrica En xeral, o produto de dous polinomios con graos m e n, respectivamente, vén dado por
onde usamos a convención de que ai = 0 para todos os números enteiros i>m e bj = 0 para todos os números enteiros j > n. Polo teorema binomial,
Usando o teorema do binomio para os expoñentes m e n, e despois a fórmula anterior para o produto de polinomios, obtemos
Comparando os coeficientes de xr, temos a identidade de Vandermonde para todos os números enteiros r con 0 ≤ r ≤ m + n. Para os enteiros maiores que r, ambos os dous lados da identidade de Vandermonde son cero debido á definición de coeficientes binomiais.
Proba combinatoria A identidade de Vandermonde tamén admite unha proba combinatoria de duplo reconto, como segue. Supoñamos que un comité está formado por m homes e n mulleres. De cantas formas se pode formar un subcomité de r membros? A resposta é
A resposta tamén é a suma de todos os valores posibles de k, do número de subcomités formados por k homes e r − k mulleres:
Xeneralizacións
Identidade xeneralizada de Vandermonde Pódese xeneralizar a identidade de Vandermonde do seguinte xeito:
Esta identidade pódese obter mediante a derivación alxébrica anterior cando se usan máis de dous polinomios, ou mediante un simple argumento de conta dupla.
Por unha banda, un elixe elementos dun primeiro conxunto de elementos; despois doutro conxunto de elementos, e así para deses conxuntos, en total temos elementos escollidos entre os conxuntos. Un, polo tanto, elixe elementos de no lado esquerdo, que tamén é exactamente o que se fai no lado dereito.
Identidade Chu-Vandermonde
Esta identidade xeneralízase a argumentos non enteiros. Neste caso, coñécese como a identidade Chu-Vandermonde e pode tomar distintas formas:
Como convolución de binomiais
para s e t sendo valores complexos en xeral e calquera número enteiro non negativo n. Pódese demostrar igual que a proba alxébrica anterior multiplicando as series de e e comparando termos coa serie binomial para . Exemplo
Con factoriais descendentes
Nesta forma é claramente recoñecible como unha variante sombra do teorema binomial. Exemplo
Como variante do teorema hiperxeométrico de Gauss A identidade Chu-Vandermonde tamén se pode ver como un caso especial do teorema hiperxeométrico de Gauss, usando a función hiperxeométrica con z = 1 e a = − n.
onde é a función hiperxeométrica e é a función gamma.
.
Xeneralización A identidade Rothe-Hagen é unha xeneralización adicional desta identidade:
Distribución de probabilidade hiperxeométrica Se dividimos os dous lados pola expresión da esquerda, de xeito que a suma sexa 1, entón os termos da suma poden interpretarse como probabilidades. A distribución de probabilidade resultante é a distribución hiperxeométrica. Esa é a distribución de probabilidade do número de bólas vermellas en r escollas sen substitución dunha urna que contén n bólas vermellas e m azuis.
Notas
Véxase tamén
Outros artigos Identidade de Rothe–Hagen
Categoría:Probabilidade Categoría:Álxebra Categoría:Teoremas Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas Categoría:Combinatoria