En matemáticas, e en particular na teoría da medida, unha función medible é unha función entre os conxuntos subxacentes de dous espazos medíbeis que preserva a estrutura dos espazos: a preimaxe de calquera conxunto medíbel é medíbel. Isto é en analoxía directa coa definición de que unha función continua entre espazos topolóxicos preserva a estrutura topolóxica: a preimaxe de calquera conxunto aberto é aberto. Na análise real, utilízanse funcións medíbeis na definición da integral de Lebesgue. Na teoría da probabilidade, unha función medíbel nun espazo de probabilidade coñécese como variábel aleatoria.

Definición Imos mostrar dúas defincións de función medíbel, unha delas máis usada na Teoría da medida e outra de uso máis frecuente na Teoría da probabilidade:

Sexan os espazos medíbeis e , significando que e son conxuntos equipados con cadansúa -álxebras e Unha función dise medíbel se para todo a preimaxe de baixo está en ; isto é, para todo temos .

Consideremos o espazo medible . Sexan e (onde é a recta real estendida). Dicimos que é medible en se para todo .

Función característica dun conxunto Dado , a función indicadora ou función característica de é a seguinte función medible

En efecto, dado temos que

e nos tres casos obtemos un conxunto pertencente á -álxebra.

Propiedades das funcións medibles

Consideremos e unha función medible. Para cada con temos que a restricción de a é medible en Consideremos unha colección numerable de conxuntos medibles e unha función medible en cada . Temos que é medible no conxunto Unha función , con un conxunto medible, é medible se, e só se, para cada aberto e, ademais, Dadas con un conxunto medible, tamén serán funcións medibles , con

Propiedades das funcións características

Se , entón .

Definición de función simple e función simple medible Dado un subconxunto , dicimos que unha función é unha función simple se existen

Unha colección de conxuntos disxuntos dous a dous cuxa unión coincida co conxunto Unha colección de escalares

de maneira que

Se, considerando agora o espazo medible , temos que e a colección de conxuntos é tal que , entón a función chamarase función simple medible.

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos Teoría da medida. Teoría da probabilidade. Sigma-álxebra Ligazóns externas Función medíbel para procesos estocásticos Measurable functions

Categoría:Teoría da medida Categoría:Funcións