En matemáticas, unha matriz de uns é unha matriz onde cada entrada é igual a un. . Por exemplo:
Un vector de uns é unha matriz de uns que teñen forma de fila ou columna; non se debe confundir cos vectores unitarios.
Propiedades Para unha matriz de uns J, temos as seguintes propiedades:
A trazo de J é igual a n, . e o determinante é igual a 0 para n ≥ 2, pero é igual a 1 se n = 1. O polinomio característico de J é . O polinomio mínimo de J é . O rango de J é 1 e os valores propios son n con multiplicidade 1 e 0 con multiplicidade .; , p. 65. para . J é o elemento neutro do produto de Hadamard. .
Cando J se considera unha matriz sobre os números reais, danse as seguintes propiedades adicionais:
J é unha matriz semidefinida positiva. A matriz é idempotente. A matriz exponencial de J é
Aplicacións A matriz de uns xorde no campo matemático da combinatoria, que inclúe particularmente a aplicación de métodos alxébricos á teoría de grafos. Por exemplo, se A é a matriz de adxacencia dun grafo non dirixido de n vértices G e J é a matriz de todos uns da mesma dimensión, entón G é un grafo regular se e só se AJ = JA.. Como segundo exemplo, a matriz aparece nalgunhas demostracións alxébricas lineares da fórmula de Cayley, que dá o número de árbores de expansión dun grafo completo, utilizando o teorema da árbore matricial.
As raíces cadradas lóxicas dunha matriz de uns, matrices lóxicas cuxo cadrado é unha matriz de unidades, pódense usar para caracterizar os grupoides centrais. Os grupoides centrais son estruturas alxébricas que obedecen á identidade . Os grupoides centrais finitos teñen un número cadrado de elementos, e as matrices lóxicas correspondentes só existen para esas dimensións. Notas
Véxase tamén
Outros artigos Matriz identidade. Ligazóns externas
Categoría:Matrices