En topoloxía e outras áreas relacionadas das matemáticas, o sistema de veciñanzas, ou sistema completo de veciñanzas ou filtro de veciñanzas por un punto nun espazo topolóxico é a colección de tódalas veciñanzas de
Definicións Veciñanza dun punto ou conxunto
Unha dun punto (ou subconxunto) nun espazo topolóxico é calquera subconxunto aberto de que contén Unha é calquera subconxunto que conteña veciñanza aberta de ; explicitamente, é unha veciñanza de en se e só se existe algún subconxunto aberto con . De forma equivalente, unha veciñanza de é calquera conxunto que conteña no seu interior topolóxico.
Filtro de veciñanzas
O sistema de veciñanzas para un punto (ou subconxunto non baleiro) é un filtro chamado O filtro de veciñanzas para un punto é o mesmo que o filtro de veciñanzas do conxunto unitario
Base de veciñanzas Unha ou para un punto é un filtro base do filtro de veciñanzas; isto significa que é un subconxunto
tal que para todo existe algunha tal que É dicir, para calquera veciñanza podemos atopar unha veciñanza na base de veciñanzas que está contida en .
De forma equivalente, é unha base local en se e só se o filtro de veciñanzas pode ser recuperado de no sentido de que se cumpre a seguinte igualdade: (Ver capítulo 2, sección 4) Unha familia é unha base de veciñanzas para se e só se é un subconxunto cofinal de respecto da orde parcial (importante, esta orde parcial é a relación de superconxunto e non a relación de subconxunto).
Subbase de veciñanzas Unha en é unha familia de subconxuntos de onde cada un deles contén de xeito que a colección de todos as interseccións de elementos de forma unha base de veciñanzas en
Exemplos Se ten a súa topoloxía euclidiana habitual entón as veciñanzas de son todos eses subconxuntos para o que existe algún número real tal que Por exemplo, todos os seguintes conxuntos son veciñanzas de en : pero ningún dos seguintes conxuntos son veciñanzas de : onde denota os números racionais.
Se é un subconxunto aberto dun espazo topolóxico , entón para cada é unha veciñanza de en De xeito máis xeral, se é calquera conxunto e denota o interior topolóxico de en entón é unha veciñanza (en ) de cada punto e a maiores é unha veciñanza de ningún outro punto. Dito doutro xeito, é unha veciñanza dun punto se e só se
Bases de veciñanzas
En calquera espazo topolóxico, o sistema de veciñanzas para un punto tamén é unha base de veciñanzas para o punto. O conxunto de todas as veciñanzas abertas nun punto forma unha base de veciñanzas nese punto. Para calquera punto nun espazo métrico, a secuencia de bólas abertas ao redor de con raio forma unha base de veciñanzas numerábel . Isto significa que todo espazo métrico é primeiro numerábel.
Dado un espazo coa topoloxía non discreta o sistema de veciñanzas para calquera punto só contén todo o espazo, .
Na topoloxía débil sobre o espazo de medidas sobre un espazo unha base de veciñanzas sobre está dada por onde as son funcións limitadas continuas de aos números reais e son números reais positivos.
Espazos seminormados e grupos topolóxicos
Nun espazo seminormado, é dicir, un espazo vectorial coa topoloxía inducida por un seminorma, todos os sistemas de veciñanzas poden construírse mediante a translación do sistema de veciñanzas da orixe,
Isto débese a que, por suposto, a adición de vectores é separadamente continua na topoloxía inducida. Polo tanto, a topoloxía está determinada polo seu sistema de veciñanzas na orixe. De forma máis xeral, isto segue a ser certo sempre que o espazo sexa un grupo topolóxico ou a topoloxía estea definida por unha pseudométrica.
Propiedades Supoñamos que e sexa unha base de veciñanzas para en Facemos un conxunto dirixido ordenándoo parcialmente por inclusión de superconxuntos Entón é unha veciñanza de en se e só se existe unha rede -indexada en tal que para todo (o que implica que en ).
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos
Categoría:Topoloxía Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas