En trigonometría, as identidades trigonométricas son igualdades que implican funcións trigonométricas e son verdadeiras para cada valor das variábeis que se producen para as que se definen ambos os dous lados da igualdade. Xeométricamente, estas son identidades que implican certas funcións dun ou máis ángulos. Son distintas das identidades de triángulos, que son identidades que poden implicar ángulos mais que tamén inclúen lonxitudes de lados ou outras lonxitudes dun triángulo.
Identidades pitagóricas miniatura|400x400px| O triángulo sombreado en azul ilustra a identidade , e o triángulo vermello mostra que . A relación básica entre o seno e o coseno vén dada pola identidade pitagórica:
onde significa e significa
Isto pódese ver como unha versión do teorema de Pitágoras, e dedúcese a partir da ecuación para a circunferencia unitaria. Esta ecuación pódese resolver tanto para o seno como para o coseno:
onde o signo depende do cuadrante de
Dividindo esta identidade por , , ou ambos os dous, proporcionan as seguintes identidades:
Usando estas identidades, é posíbel expresar calquera función trigonométrica en termos de calquera outra (ata un signo máis ou menos): +Cada función trigonométrica en función de cada unha das outras cinco.en función de
Reflexións, desprazamentos e periodicidade Examinando a circunferencia unitaria, pódense estabelecer as seguintes propiedades das funcións trigonométricas.
Reflexións Se unha liña (vector) con dirección reflíctese sobre unha liña con dirección daquela o ángulo de dirección desta liña reflectida (vector) ten o valor
Os valores das funcións trigonométricas destes ángulos para ángulos específicos satisfán identidades simples: ou son iguais, ou teñen signos opostos, ou empregan a función trigonométrica complementaria. Tamén se coñecen como fórmulas de redución (). reflectido en identidades impares/pares reflectido en reflectido en reflectido en reflectido en comparar con
Desprazamentos e periodicidade Desprazado por un período dun cuartoDesprazado por un período dun medioDesprazado por períodos completosPeríodo
Signos O signo das funcións trigonométricas depende do cuadrante do ángulo. Se e é a función signo,
As funcións trigonométricas son periódicas con período común polo que para valores de fóra do intervalo toman valores repetitivos.
Identidades de suma e diferenza de ángulos miniatura| Ilustración de fórmulas de suma de ángulos para o seno e o coseno dos ángulos agudos. O segmento enfatizado é de lonxitude unidade. Estes tamén se coñecen como fórmulas da suma de ángulos.
Estas identidades resúmense nas dúas primeiras filas da seguinte táboa, que tamén inclúe identidades de suma e diferenza para as outras funcións trigonométricas. SenoCosenoTanxenteCosecanteSecanteCotanxenteArcosenoArcocosenoArcotanxenteArcocotanxente
Fórmulas de ángulos múltiples e ángulos metade é o -ésimo polinomio de ChebyshevFórmula de De Moivre, é a unidade imaxinaria
Fórmulas de ángulos múltiples
Fórmulas de ángulo duplo Fórmulas para dúas veces un ángulo.
Fórmulas de ángulos múltiples
Método de Chebyshev O método Chebyshev é un algoritmo recursivo para atopar a fórmula -ésima de ángulos múltiples coñecendo os valores de multiplicidade e .
Así pódese calcular a partir de , , e con
Dedúcese por indución que é un polinomio de o chamado polinomio de Chebyshev do primeiro tipo, véxase Polinomios de Chebyshev.
Similarmente
Fórmulas de ángulo métade
Fórmulas de redución de potencias Obtido resolvendo a segunda e terceira versións da fórmula do ángulo duplo do coseno. Seno Coseno Outros
Identidades produto a suma e suma a produto Identidades produto a suma
Identidades suma a produto As identidades de suma a produto son as seguintes:
Relación coa función exponencial complexa A fórmula de Euler indica que, para calquera número real x: onde i é a unidade imaxinaria. Substituíndo −x por x dános:
Estas dúas ecuacións pódense usar para resolver o coseno e o seno en termos da función exponencial. En concreto,
Estas fórmulas son útiles para demostrar moitas outras identidades trigonométricas. Por exemplo, que significa que
.
Que a parte real do lado esquerdo sexa igual á parte real do lado dereito é unha fórmula de suma de ángulos para o coseno. A igualdade das partes imaxinarias dá unha fórmula de suma de ángulos para o seno.
A seguinte táboa expresa as funcións trigonométricas e as súas inversas en función da función exponencial e do logaritmo complexo. FunciónFunción inversaAbramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.26–31
Nota: cis é unha notación que indica coseno e a parte imaxinaria (i) para o seno.
Relación con funcións hiperbólicas complexas As funcións trigonométricas pódense deducir de funcións hiperbólicas con argumentos complexos. As fórmulas para as relacións móstranse a continuación
Expansión en series Cando se utiliza unha expansión de serie de potencias para definir funcións trigonométricas, obtéñense as seguintes identidades:
Fórmulas infinitas de produtos Para aplicacións con funcións especiais, son útiles as seguintes fórmulas de produtos infinitos para funcións trigonométricas.
Funcións trigonométricas inversas
As seguintes identidades dan o resultado de compoñer unha función trigonométrica cunha función trigonométrica inversa.
Tomando o inverso multiplicativo de ambos os dous lados de cada ecuación anterior resultan as ecuacións para
O lado dereito da fórmula anterior sempre se invertirá. Por exemplo, a ecuación para é:
mentres que as ecuacións para e son:
As seguintes identidades están implicadas polas identidades de reflexión. Mantéñense sempre que estean nos dominios das funcións relevantes.
Tamén ,Wu, Rex H. "Proof Without Words: Euler's Arctangent Identity", Mathematics Magazine 77(3), June 2004, p. 189.
A función arcotanxente pódese expandir como unha serie:
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Trigonometría. Lei dos senos. Teorema de Ptolomeo Función hiperbólica Ligazóns externas Valores de sin e cos, expresado en xordos (raíz non resolvida), para múltiplo de enteiros de 3° e de °, e para os mesmos ángulos csc and sec e tan
Categoría:Listas de matemáticas Categoría:Trigonometría Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas