En matemáticas, concretamente en álxebra conmutativa, os polinomios simétricos elementais son un tipo de bloque básico para polinomios simétricos, no sentido de que calquera polinomio simétrico pode expresarse como polinomio en polinomios simétricos elementais. É dicir, calquera polinomio simétrico vén dado por unha expresión que só implica sumas e multiplicacións de constantes e polinomios simétricos elementais. Hai un polinomio simétrico elemental de grao en variábeis para todo número enteiro positivo , e fórmase sumando todos os produtos distintos de variábeis distintas.
Definición Os polinomios simétricos elementais en variábeis , escritos para , defínense por
e igual para o resto, rematando con
En xeral, para definimos
de xeito que se . (Ás veces, inclúese entre os polinomios simétricos elementais, pero excluíndoo permite unha formulación xeralmente máis sinxela de resultados e propiedades.)
Así, para cada número enteiro positivo menor ou igual a existe exactamente un polinomio simétrico elemental de grao en variábeis. Para formar o que ten o grao , sumamos todos os produtos de subconxuntos das variábeis . (Polo contrario, se se realiza a mesma operación usando varios conxuntos de variábeis, é dicir, tomando variábeis con repetición, chégase aos polinomios simétricos homoxéneos completos).
Dada unha partición enteira (é dicir, unha secuencia finita non crecente de números enteiros positivos) , defínese o polinomio simétrico , tamén chamado polinomio simétrico elemental, por
.
Ás veces úsase a notación en lugar de .
Exemplos A continuación enuméranse os polinomios simétricos elementais para os catro primeiros valores positivos de .
Para :
Para :
Para :
Para :
Propiedades Os polinomios simétricos elementais aparecen cando expandimos unha factorización linear dun polinomio mónico: temos a identidade
É dicir, cando substituímos valores numéricos polas variábeis , obtemos o polinomio mónico univariado (con variábel ) cuxas raíces son os valores substituídos por e cuxos coeficientes son, ata o seu signo, os polinomios simétricos elementais. Estas relacións entre as raíces e os coeficientes dun polinomio chámanse fórmulas de Viète.
O polinomio característico dunha matriz cadrada é un exemplo de aplicación das fórmulas de Vieta. As raíces deste polinomio son os eigenvalores da matriz. Cando substituímos estes eigenvalores nos polinomios simétricos elementais, obtemos, ata o seu signo, os coeficientes do polinomio característico, que son invariantes da matriz. En particular, a traza (a suma dos elementos da diagonal) é o valor de e, polo tanto, a suma dos eigenvalores. Do mesmo xeito, o determinante é, ata o signo, o termo constante do polinomio característico, é dicir, o valor de . Así, o determinante dunha matriz cadrada é o produto dos eigenvalores.
O conxunto de polinomios simétricos elementais en variábeis xera o anel de polinomios simétricos en variábeis. Máis concretamente, o anel de polinomios simétricos con coeficientes enteiros é igual ao anel polinómico de enteiros . (Consulte a continuación para unha definición máis xenérica.) Este feito é un dos fundamentos da teoría dos invariantes. Para outro sistema de polinomios simétricos coa mesma propiedade consulte Polinomios simétricos homoxéneos completos, e para un sistema cunha propiedade similar, pero lixeiramente máis débil, consulte Polinomio simétrico de suma de potencias.
Teorema fundamental dos polinomios simétricos Para calquera anel conmutativo , denote o anel de polinomios simétricos nas variábeis con coeficientes en como . Este é un anel polinómico nos n polinomios elementais simétricos para .
Isto significa que todo polinomio simétrico ten unha representación única
para algún polinomio . Outra forma de dicir o mesmo é que o homomorfismo de aneis que envía a para define un isomorfismo entre e .
Notas
Véxase tamén Bibliografía
Outros artigos Anel polinómico. Función simétrica. Desigualdade de Maclaurin. Ligazóns externas
Categoría:Polinomios Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas