En matemáticas, un elemento dun anel chámase nilpotente se existe algún número enteiro positivo , chamado índice (ou ás veces grao), de xeito que .
O termo, xunto co seu irmán idempotente, foi introducido por Benjamin Peirce no contexto do seu traballo sobre a clasificación das álxebras.Polcino Milies & Sehgal (2002), An Introduction to Group Rings. p. 127.
Exemplos
Esta definición pódese aplicar en particular ás matrices cadradas. A matriz
é nilpotente porque . Consulte matriz nilpotent para obter máis información.
No anel do factor , a clase de equivalencia de 3 é nilpotente porque 32 é congruente con 0 módulo 9. Supoña que dous elementos e nun anel satisfán . Daquela o elemento é nilpotente pois Un exemplo con matrices (para a, b): Aquí e .
Propiedades Ningún elemento nilpotente pode ser unha unidade (agás no anel trivial, que só ten un único elemento ). Todos os elementos nilpotentes son divisores de cero.
Unha matriz con entradas dun corpo é nilpotente se e só se o seu polinomio característico é .
Se é nilpotente, entón é unha unidade, porque implica
De forma máis xeral, a suma dun elemento unitario e un elemento nilpotente é unha unidade cando conmutan.
Aneis conmutativos Os elementos nilpotentes dun anel conmutativo forman un ideal ; esta é unha consecuencia do teorema binomial. Este ideal é o nilradical do anel. Cada elemento nilpotente nun anel conmutativo está contido en todo ideal primo dese anel, xa que . Entón está contido na intersección de todos os ideais primos.
Elementos nilpotentes na álxebra de Lie Sexa unha álxebra de Lie. Daquela un elemento chámase nilpotente se está en e é unha transformación nilpotente. Vexa tamén: Descomposición de Jordan nunha álxebra de Lie.
Notas
Véxase tamén
Outros artigos Idempotente (teoría dos aneis) Unipotente Nil ideal Matriz nilpotente Ligazóns externas what are the applications of nilpotent elements/nilpotent ideals?.
Categoría:Cero Categoría:Teoría de aneis