Na análise complexa (unha rama das matemáticas), un polo é un tipo determinado de singularidade dunha función de valor complexo dunha variábel complexa. É o tipo máis simple de singularidade non evitábel desa función (véxase singularidade esencial). Tecnicamente, un punto é un polo dunha función se é un cero da función e é holomorfa (é dicir, diferenciábel complexa) nalgunha veciñanza de .

Unha función é meromorfa nun conxunto aberto se para todo punto de existe unha veciñanza de na que polo menos unha das funcións e é holomorfa.

Se é meromorfa en , entón un cero de é un polo de , e un polo de é un cero de . Isto induce unha dualidade entre ceros e polos, que é fundamental para o estudo das funcións meromorfas.

Definicións Unha función dunha variábel complexa é holomorfa nun dominio aberto se é diferenciábel respecto a en cada punto de . Equivalentemente, é holomorfa se é analítica, é dicir, se a súa serie de Taylor existe en cada punto de e converxe á función nalgunha veciñanza do punto. Unha función é meromorfa en se todo punto de ten unha veciñanza na que polo menos unha das funcións e é holomorfa.

Un cero dunha función meromorfa é un número complexo tal que . Un polo de é un cero de .

Se é unha función que é meromorfa nunha veciñanza dun punto do plano complexo, entón existe un enteiro tal que

é holomorfa e non nula nunha veciñanza de (isto é unha consecuencia da propiedade analítica). Se , entón é un polo de orde (ou multiplicidade) de . Se , entón é un cero de orde de .

Cero simple e polo simple son termos usados para ceros e polos de orde Ás veces úsase grao como sinónimo de orde.

Esta caracterización de ceros e polos implica que os ceros e polos están illados, é dicir, todo cero ou polo ten unha veciñanza que non contén ningún outro cero ou polo.

Un punto que non é nin un polo nin un cero considérase un polo (ou cero) de orde 0.

Unha función meromorfa pode ter infinitos ceros e polos. Este é o caso da función gamma, que é meromorfa en todo o plano complexo e ten un polo simple en cada enteiro non positivo. A función zeta de Riemann tamén é meromorfa en todo o plano complexo, cun único polo de orde 1 en . Os seus ceros no semiplano esquerdo son todos os enteiros pares negativos, e a hipótese de Riemann é a conxectura de que todos os demais ceros están sobre .

Nunha veciñanza dun punto unha función meromorfa non nula é a suma dunha serie de Laurent cunha parte principal finita (os termos con valores de índice negativos):

onde é un enteiro, e De novo, se (a suma comeza con , a parte principal ten termos), tense un polo de orde , e se (a suma comeza con , non hai parte principal), tense un cero de orde .

No infinito Unha función é meromorfa no infinito se é meromorfa nalgunha veciñanza do infinito (é dicir, fóra dun disco), e existe un enteiro tal que

existe e é un número complexo non nulo.

Neste caso, o punto no infinito é un polo de orde se , e un cero de orde se .

Por exemplo, un polinomio de grao ten un polo de grao no infinito.

O plano complexo estendido por un punto no infinito chámase esfera de Riemann.

Se é unha función que é meromorfa en toda a esfera de Riemann, entón ten un número finito de ceros e polos, e a suma das ordes dos seus polos é igual á suma das ordes dos seus ceros.

Toda función racional é meromorfa en toda a esfera de Riemann, e, neste caso, a suma das ordes dos ceros ou dos polos é o máximo dos graos do numerador e do denominador.

Exemplos

dereita|miniatura|300px|Un polinomio de grao 9 ten un polo de orde 9 no , aquí representado mediante a coloración do dominio da esfera de Riemann. A función

é meromorfa en toda a esfera de Riemann. Ten un polo de orde 1 ou polo simple en e un cero simple no infinito.

A función

é meromorfa en toda a esfera de Riemann. Ten un polo de orde 2 en e un polo de orde 3 en . Ten un cero simple en e un cero cuádruplo no infinito.

A función

é meromorfa en todo o plano complexo, mais non no infinito. Ten polos de orde 1 en . Isto pódese ver escribindo a serie de Taylor de arredor da orixe.

A función

ten un único polo no infinito de orde 1, e un único cero na orixe.

Todos os exemplos anteriores, agás o terceiro, son funcións racionais.

Función nunha curva

O concepto de ceros e polos esténdese de forma natural a funcións nunha curva complexa, é dicir, unha variedade analítica complexa de dimensión un (sobre os números complexos). Os exemplos máis simples desas curvas son o plano complexo e a superficie de Riemann. Esta extensión faise transferindo estruturas e propiedades mediante cartas, que son isomorfismos analíticos.

Máis precisamente, sexa unha función dunha curva complexa nos números complexos. Esta función é holomorfa (resp. meromorfa) nunha veciñanza dun punto de se existe unha carta tal que é holomorfa (resp. meromorfa) nunha veciñanza de Entón, é un polo ou un cero de orde se o mesmo é certo para

Se a curva é compacta, e a función é meromorfa en toda a curva, entón o número de ceros e polos é finito, e a suma das ordes dos polos é igual á suma das ordes dos ceros. Este é un dos feitos básicos que están implicados no teorema de Riemann-Roch.

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos Teorema de Gauss-Lucas Teorema de Hurwitz (análise complexa) Residuo (análise complexa) Ligazóns externas

Categoría:Análise complexa