En matemáticas, e particularmente no campo da análise complexa, o teorema de factorización de Weierstrass afirma que toda función enteira (ou completa) pode representarse como un produto (posibelmente infinito) que inclúe os seus ceros. O teorema pódese ver como unha extensión do teorema fundamental da álxebra, que afirma que cada polinomio pode factorizarse en factores lineares, un por cada raíz.
Motivación Está claro que calquera conxunto finito de puntos do plano complexo ten un polinomio asociado cuxos ceros están precisamente nos puntos dese conxunto. A inversa é unha consecuencia do teorema fundamental da álxebra: calquera función polinómica no plano complexo ten unha factorización onde é unha constante distinta de cero e é o conxunto de ceros de .
As dúas formas do teorema de factorización de Weierstrass pódense considerar como extensións do anterior a funcións enteiras. A necesidade de termos adicionais no produto demóstrase cando se considera onde a secuencia non é finita. Nunca pode definir unha función enteira, porque o produto infinito non converxe. Así, en xeral, non se pode definir unha función enteira a partir dunha secuencia de ceros prescritos nin representar unha función enteira polos seus ceros usando as expresións que proporciona o teorema fundamental da álxebra. Pola contra, o teorema de Weierstrass substitúe estes por outros factores.
Unha condición necesaria para a converxencia do produto infinito en cuestión é a de cada un , os factores substituíndo debe achegarse a 1 cando . Polo tanto, é lóxico que se procuren funcións de factor que poidan ser 0 nun punto prescrito, aínda que permanezan preto de 1 cando non se atopen nese punto e, a maiores, non introduzan máis ceros que os prescritos. Os factores elementais de Weierstrass teñen estas propiedades e teñen o mesmo propósito que os factores da factorización polinómica indicada enriba.
Factores elementais Considere as funcións da forma para . En , avalían a e teñen pendente plana de orde ata . Xusto despois de , caen drasticamente a algún pequeno valor positivo. En cambio, considere a función que non ten pendente plana pero, en , avalía exactamente a cero. Teña en conta tamén que para ,
alt=First 5 Weierstrass factors on the unit interval.|dereita|miniatura| Gráfica de para n = 0,... ,4 e x no intervalo [-1,1]. Os factores elementais, tamén coñecidos como factores primarios, son funcións que combinan as propiedades de pendente cero e valor cero (ver gráfico):
Para e , pódese expresar como e pódese ver como se executan esas propiedades.
A utilidade dos factores elementais reside no seguinte lema: Rudin, W. (1987), Real and Complex Analysis (PDF) (3rd ed.), Boston: McGraw Hill, pp. 299–304, ISBN 0-07-054234-1, OCLC 13093736
Lema (15.8, Rudin) para ,
Existencia dunha función enteira con ceros especificados Sexa unha sucesión de números complexos distintos de cero tal que . Se é calquera sucesión de enteiros non negativos tal que para todos os ,
logo a función
é enteira con ceros só nos puntos . Se un número ocorre na sucesión exactamente veces, entón a función ten un cero en de multiplicidade .
A sucesión no enunciado do teorema sempre existe. Por exemplo, sempre poderiamos tomar e ter a converxencia. Tal sucesión non é única: mudala nun número finito de posicións ou tomar outra sucesión , non romperá a converxencia. O teorema xeneralízase no seguinte: as sucesións en subconxuntos abertos (e, polo tanto, rexións) da esfera de Riemann teñen funcións asociadas que son holomorfas neses subconxuntos e teñen ceros nos puntos da sucesión .
Teorema de factorización de Weierstrass Sexa unha función enteira, e sexan os ceros distintos de cero de repetidos segundo a multiplicidade; supoña tamén que ten un cero en de orde . Daquela existe unha función enteira e unha secuencia de números enteiros tal que
Inclúese aquí o caso dado polo teorema fundamental da álxebra. Se a secuencia é finita entón podemos tomar , e para obter .
Exemplos de factorización As funcións trigonométricas seno e coseno teñen as factorizacións
mentres que a función gamma ten factorización
onde é a constante de Euler-Mascheroni.
A identidade coseno pódese ver como un caso especial de
para .
Teorema de factorización de Hadamard Un caso especial do teorema de factorización de Weierstraß dáse para funcións enteiras de orde finita. Neste caso, o pódese tomar independente de e a función é un polinomio. Así,
onde son esas raíces de que non son cero (), é a orde do cero de en (o caso tómase como ), un polinomio (cuxo grao chamaremos ), e chamaremos ao número enteiro non negativo máis pequeno tal que a serie converxe.
Isto chámase representación canónica de Hadamard. O número enteiro non negativo chámase o xénero (ou genus) da función enteira . A orde de satisfai
Noutras palabras: se a orde non é un número enteiro, entón é a parte enteira de . Se a orde é un número enteiro positivo, hai dúas posibilidades: ou .
Notas
Véxase tamén Bibliografía </ref> Outros artigos Teoremas de Weierstrass. Función holomorfa. Ligazóns externas
Categoría:Análise complexa Categoría:Teoremas Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas