En análise matemática, o teorema de Dini afirma que se unha sucesión monótona de funcións continuas converxe puntualmente nun espazo compacto e a función límite é tamén continua, a converxencia é uniforme.....
Enunciado formal Se é un espazo topolóxico compacto, e é unha sucesión monótona crecente (isto é, para todo e ) de funcións reais continuas en que converxe puntualmente a unha función continua, entón a converxencia é uniforme. A mesma afirmación é certa se é monótona decrecente en lugar de crecente. O teorema recibe o seu nome por Ulisse Dini.
Este é un dos poucos casos en matemáticas onde a converxencia puntual implica converxencia uniforme. A clave do resultado é o maior control que implica a monotonía. Nótese tamén que a función límite debe ser continua, xa que o límite uniforme de funcións continuas é necesariamente continuo.
Demostración Sexa arbitrariamente fixado. Para cada , sexan e o conxunto dos tales que . Cada é continua, logo cada un dos é aberto (xa que é a preimaxe dun conxunto aberto baixo , unha función continua non negativa). Dado que é monótona crecente, é monótona decrecente, polo que a sucesión é ascendente respecto á relación de inclusión. Como converxe puntualmente a , séguese que a colección é un recubrimento por abertos de . Por compacidade, existe un subrecubrimento finito e, posto que os forman unha cadea ascendente, o elemento maximal respecto á relación de inclusión no subrecubrimento finito é un recubrimento de . Polo tanto, obtivemos que existe un enteiro non negativo tal que . É dicir, existe un enteiro non negativo tal que, se , entón , como buscabamos demostrar.
Importancia das hipóteses
As afirmacións do Teorema de Dini non se xeneralizan ao caso de funcións definidas nun intervalo non compacto, como amosa o exemplo da sucesión de funcións definidas en dada por .
Do mesmo xeito, a continuidade da función límite é imprescindible; basta con considerar a sucesión funcional , onde para todo e .
No caso decrecente, pódense facer as mesmas consideracións, tendo e como contraexemplos, respectivamente.
Se a sucesión non fose monótona, a converxencia puntual cara a unha función continua tampouco garantiría a uniformidade. Un exemplo é a sucesión de funcións definidas mediante a expresión .
Notas
Véxase tamén
Bibliografía Bartle, Robert G. e Sherbert Donald R. (2000). Introduction to Real Analysis, 3.ª edición, Wiley, páx. 238.
Jost, Jürgen (2005) Postmodern Analysis, 3.ª edición, Springer. Véxase o Teorema 12.1 na páxina 157 para o caso monotonamente crecente. Rudin, Walter R. (1976) Principles of Mathematical Analysis, 3.ª edición, McGraw–Hill. Véxase o Teorema 7.13 na páxina 150 para o caso monotonamente decrecente.
Categoría:Análise matemática