280px|dereita|miniatura|O conxunto de Mandelbrot é un exemplo famoso de fractal. 280px|dereita|miniatura|Árbore fractal.
No uso coloquial, un fractal (do latín fractus 'fracción', 'quebrado') é un obxecto xeométrico que ao ser dividido en partes, cada unha das partes resulta ter un padrón semellante ao obxecto orixinal. Dise que os fractais teñen infinitos detalles, son xeralmente autosimilares e independentes da escala. En moitos casos, un fractal pode xerarse en base á repetición dun padrón, tipicamente un proceso recorrente ou iterativo.
Benoît Mandelbrot, matemático francés nado na Polonia, que descubriu a xeometría fractal na década de 1970 acuñou o termo a partir do adxectivo latino fractus, do verbo frangere, que significa 'quebrar'.
A xeometría fractal é a rama da matemática que estuda as propiedades e comportamento dos fractais. Describe moitas situacións que non poden explicarse facilmente pola xeometría clásica, e aplicáronse na ciencia, tecnoloxía e arte xerada por computador. As raíces conceptuais dos fractais remontan ás tentativas de medir o tamaño de obxectos (por exemplo, a liña de costa dun país) para os cales as definicións tradicionais baseadas na xeometría euclidiana fallan.
Historia dereita|miniatura|205px|Felepa de neve de Koch. Durante séculos, os obxectos e os conceptos da filosofía e da xeometría euclidiana consideráronse como os que mellor describían o mundo en que vivimos. A descuberta de xeometrías non euclidianas introduciu novos obxectos que representan certos fenómenos do Universo, tal como se pasou cos fractais. Así, considérase hoxe que tales obxectos retratan moitas formas e fenómenos da Natureza.
A idea dos fractais tivo a súa orixe no traballo dalgúns científicos entre 1857 e 1913. Ese traballo deu a coñecer algúns obxectos, catalogados como "demos", que se supuña non teren gran valor científico.
En 1872, Karl Weierstrass achou o exemplo dunha función coa propiedade de ser continua en todo seu dominio, pero en ningunha parte diferenciábel. O gráfico desta función chámase actualmente fractal. En 1904, Helge von Koch, non satisfeito coa definición moi abstracta e analítica de Weierstrass, deu unha definición máis xeométrica dunha función similar, actualmente coñecida como Koch snowflake (ou folerpa de neve de Koch), que é o resultado de infinitas adicións de triángulos ao perímetro dun triángulo inicial. Cada vez que se engaden novos triángulos, o perímetro medra, aproximándose fatalmente ao infinito. Desa maneira, o fractal abrangue unha área finita dentro dun perímetro infinito.
Houbo moitos máis traballos relacionados con estas figuras, pero esta ciencia só conseguiu desenvolverse plenamente a partir da década de 60, co auxilio da informática. Un dos pioneiros a usar esta técnica foi Benoît Mandelbrot, un matemático que xa viña estudando tales figuras. Mandelbrot descubriu un dos fractais máis coñecidos, o conxunto de Mandelbrot.
Categorías de fractais 120px|Conxunto enteiro de Mandelbrot 120px|Ampliado 4x 120px|Ampliado 30x 120px|Zoom de 350x Aumento de 350 veces do conxunto de Mandelbrot mostra os pequenos detalles repetindo o conxunto enteiro.
Os fractais poden agruparse en tres categorías principais. Estas categorías determínanse polo modo en que o fractal se forma ou xera:
Sistema de funcións iteradas — Posúen unha regras fixas de substitución xeométrica. Conxunto de Cantor, tapete de Sierpinski, Sierpinski gasket, curva de Peano, felepa de neve de Koch, curva do dragón de Harter-Heighway, T-Scare, esponxa de Menger, son algúns exemplos deste tipo de fractal. Fractais definidos por unha relación de recorrencia en cada punto do espazo (tal como o plano complexo). Como exemplos deste tipo están o conxunto de Mandelbrot e o fractal de Lyapunov. Estes tamén se chaman fractais de fuga do tempo. Fractais aleatorios, xerados por procesos estocásticos en vez de determinísticos, por exemplo, terreos fractais e o voo de Lévy.
Tamén se poden clasificar de acordo coa súa autosimilitude. Hai tres tipos de autosimilitude atopados nos fractais:
Autosimilitude exacta: é a forma en que é máis evidente. O fractal é idéntico en diferentes escalas. Os fractais xerados por sistemas de funcións iterativas xeralmente presentan unha autosimilitude exacta. Cuasiautosimilitude: é unha forma máis solta de autosimilitude. O fractal aparenta ser aproximadamente (mais non exactamente) idéntico en escalas diferentes. Os fractais case-autosimilares conteñen pequenas copias do fractal enteiro de maneira distorsionada ou dexenerada. Os fractais definidos por relacións de recorrencia son xeralmente case-autosimilares, mais non exactamente autosimilares. Autosimilitude estatística: é a forma menos evidente. O fractal posúe medidas numéricas ou estatísticas que se preservan en diferentes escalas. As definicións dos fractais xeralmente implican algunha forma de autosimilitude estatística (mesmo a dimensión fractal é unha medida numérica preservada en diferentes escalas). Os fractais aleatorios son exemplos de fractais que posúen autosimilitude estatística, mais non son exactamente nin case autosimilares.
En calquera caso , non todos os obxectos autosimilares se consideran fractais. Unha liña recta (Euclidiana), por exemplo, é exactamente autosimilar, mais o argumento de que obxectos euclidianos sexan fractais non é defendido case por ninguén. Mandelbrot argumentaba que a definición de fractal debería incluír non só fractais "verdadeiros" senón tamén obxectos euclidianos tradicionais, pois números irracionais nunha liña real representan propiedades complexas e non repetitivas.
Polo feito de que o fractal posúe unha granulometría infinita, ningún obxecto natural pode selo. Os obxectos naturais poden exhibir unha estrutura semellante ao fractal, porén cunha estrutura de tamaño limitado.
Definicións miniatura|Fractal Julia Set. Os fractais poden ser definidos segundo algunhas características intuitivas, pois faise difícil a conversión da definición matemática na linguaxe ordinaria, debido á falta de termos adecuados para a súa tradución.
Mandelbrot definiu fractal como . A definición de fractal ten, porén, certos problemas de linguaxe: Non hai ningún significado preciso para o termo "moi irregular". Cando se di “dimensión”, pode haber dúbida na definición do concepto, pois o termo pode ter diversos significados (por exemplo: “tamaño”, “importancia, no sentido de valor-”, “orde de matrices na representación matricial dun grupo”, “grao”, “nun espazo vectorial, o número de vectores da base”, “nun espazo, o número mínimo de coordenadas necesarias á determinación unívoca dos seus puntos” etc.). Porén no caso dos fractais, dimensión significa estritamente o “número fraccionario ou irracional que caracteriza a xeometría dun fractal.”. Hai moitos modos nos que un obxecto pode ser autosemellante. Pódese tentar explicar como unha especie de fractais “irmáns xemelgos idénticos”, onde existe a igualdade na semellanza física, porén as súas ‘personalidades’ son diferentes”. Isto ocorre cando as curvas se alimentan inicialmente dos mesmos datos, mais en determinado intre, hai un desvío nos valores dos datos, por exemplo, cando observamos dous fractais nunha escala 1:1, teñen exactamente a mesma aparencia, pero se os observarmos nunha dimensión 1:1 000 000, as figuras observadas son completamente diferentes. Non todo fractal posúe repetitividade: dependendo dos dados inseridos (principalmente no dominio do tempo) este non terá en escalas menores a mesma aparencia, aparecendo distorsións da figura.
Exemplos
miniatura|Dúas follas de acrílico cubertas de cola, cando se espremen forman un fractal natural.
dereita|miniatura|Unha perturbación causada por alta tensión nun bloque de acrílico crea un fractal (Figura Lichtenberg).
As árbores e os fieitos son fractais naturais que poden modelarse en computadores que usan algoritmos recursivos. Esta propiedade de repetividade está clara nestes exemplos, pois nun ramo dunha árbore ou na follaxe dunha samambaia pode observarse unha réplica en miniatura do todo. Non idéntico, porén semellante na estrutura.
Os fractais son xeralmente de forma engurrada (tanto en cálculos canto nas imaxes resultantes destes), Polo tanto, non son obxectos definíbeis pola xeometría tradicional. Iso quer dicir que os fractais tenden a ter detalles significantes, visíbeis baixo calquera punto de vista (ou sexa, as súas variacións visuais son perfectamente mensurábeis); cando houber unha ego-semellanza, isto pode ocorrer porque ao se observar baixo o “zoom” figuras semellantes observaremos a recursividade, ou repetividade destas.
esquerda|miniatura|Un brócoli romanesco como exemplo dun fractal natural. Por exemplo, nunha forma euclidiana normal (como un círculo) esta parece máis achaiada e alisada cando se amplifica. Nunha ampliación infinita sería imposíbel se diferenciar entre o círculo e unha liña recta. No caso dos fractais, isto non acontece (aínda que, canto máis amplificarmos, máis nos aproximaremos da liña recta tamén - isto ocorre debida perda de dados en múltiplas amplificacións- ou sexa, os desvíos acontecen debido á imprecisión das insercións secuenciais dos datos).
A idea convencional de curvatura representada pola reciprocidade radial (en radiáns) nun círculo por aproximación, non pode ser usualmente aplicada en escalas moi grandes (neste caso, o “raio” de curvatura ficará fóra de escala, de aí a “aparencia” dunha liña recta).
Ao contrario, cos fractais, ao se aumentar a amplificación, revelaranse máis e máis detalles. Estes dependerán do grao de precisión e da cantidade de cifras decimais dos datos inseridos. As distorsións tendendo para a liña recta, ocorren xustamente polo feito de haber “falta de memoria” nas máquinas que executan o cálculo. Polo tanto, un fractal xamais alcanzará unha liña recta, salvo cando a fórmula que o constitúe así o permita.
Incluso as simples curvas suaves poden exhibir a propiedade fractal de autosimilitude: por exemplo a distribución de Pareto produce formas similares ao facer "zoom" sobre ela.
Entre os exemplos comúns de fractais están:
Conxunto de Mandelbrot Fractal de Lyapunov Conxunto de Precentor Alfombra de Sierpinski Triángulo de Sierpinski Esponxa de Menger Curva de dragón Curva de Peano Curva de Koch
Os Fractais poden ser determinísticos ou estocásticos (ver George G. Stokes).
No caso da Teoría do Caos, podemos asociala totalmente aos fractais; tamén no coñecido conxunto de Mandelbrot podemos observar discos enteiros, de dimensión 2. Isto non é de sorprender, senón que o verdadeiramente sorprendente é que o limite do conxunto Mandelbrot tamén ten unha dimensión de Hausdorff de 2.
256px|dereita|miniatura|Un conxunto de Julia, un fractal relacionado co conxunto Mandelbrot
Frecuentemente na natureza atópanse aproximacións a fractais (fractais naturais). Estes obxectos exhiben unha estrutura complexa próxima aos obxectos matemáticos, porén finitas se as observarmos nunha escala maior.
Os fractais naturais están preto de nós, basta observarmos as nubes, as montañas, os ríos e os seus afluentes, os sistemas de vasos sanguíneos, os feixes nerviosos etc.
A pesar de existiren por toda a natureza, e de seren omnipresentes, estes obxectos soamente foron realmente estudados a fondo no século XX.
Harrison estendeu o cálculo Newtoniano para o dominio fractal, tamén inseriu os teoremas Gauss da diverxencia, o Teorema de Green, e o Teorema de Stoke.
Os Fractais son normalmente xerados a través de computadores con softwares específicos. A través do seu estudo podemos describir moitos obxectos extremadamente irregulares do mundo real. Como exemplo de softwares temos o Xaos -http://xaos.sourceforge.net/index.php.