A divisibilidade é a capacidade dun número enteiro b ser divisible entre outro enteiro a (distinto de cero) se existe un terceiro enteiro c tal que b = a·c. Adóitase expresar da forma a|b, léndose a divide a b ou a é divisor de b, ou mesmo b é múltiplo de a. Por exemplo, 6 é divisible por 3, xa que 6 = 3·2; pero non é divisible entre 4, pois non existe un enteiro c tal que 6 = 4·c. Isto é, o resto da división euclídea (enteira) de 6 entre 4 non é cero. Véxase o algoritmo da división.
Todo número enteiro maior que 1 é divisible por 1 e por si mesmo. Os números que non admiten máis que estes dous divisores denomínanse números primos. Os que admiten máis de dous divisores chámanse números compostos.
Propiedades Sexan a, b, c ∈ Z:
1. 1|a, a|0, a|a. 2. Se a|b e b|a, entón a = ±b. 3. Se a|b e b|c, entón a|c. 4. Se a|b, entón a|bx, ∀x ∈ Z. 5. Se a|b e a|c, entón a|(bx + cy), ∀x, y ∈ Z. 6. Se a|b·c e mcd(a,b)=1, entón a|c
Criterios de divisibilidade Os seguintes criterios permiten pescudar se un número é divisible por outro dun modo simple, sen necesidade de realizar unha división.
NúmeroCriterioExemplo2O número termina en cifra par.378: porque "8" é par.3A suma das súa cifras é un múltiplo de 3.480: porque 4+8+0 = 12 é múltiplo de 3.4O número formado polas dúas últimas cifras é 00 ou múltiplo de 4. 7324: porque 24 é múltiplo de 4.5A última cifra es 0 ou 5.485: porque acaba en 5.6O número é divisible entre 2 e entre 3.24: Ver criterios anteriores.7Para números de 3 cifras: Ó número formado polas dúas primeiras cifras réstaselle a última multiplicada por 2. Se o resultado é múltiplo de 7, o número orixinal tamén o é.469: porque 46-2·9 = 28, que é múltiplo de 7.Para números de máis de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras e aplicar o criterio de arriba a cada grupo. Sumar e restar alternativamente o resultado obtido en cada grupo e comprobar se o resultado final é un múltiplo de 7.52176376: porque (37-12) - (17-12) + (5-4)= 25-5+1= 21 é múltiplo de 7.8O número formado polas tres últimas cifras é 000 ou múltiplo de 8.27280: porque 280 é múltiplo de 8.9A suma das súas cifras é múltiplo de 9.3744: porque 3+7+4+4= 18 é múltiplo de 9.10A última cifra é 0.470: A última cifra é 0.11Súmanse as cifras do número, pares por un lado e impares por outro. Réstase o resultado das dúas sumas. Se o resultado é cero (0) ou un múltiplo de 11, o número é divisible por este.49712: 9+7+1=17 · 4+2=6 · 17-6=11 → 11 é múltiplo de 1112O número é divisible por 3 e 4.528: Ver criterios anteriores.13Para números de 3 cifras: Ó número formado polas dúas primeiras cifras súmaselle a última multiplicada por 4. Se o resultado é múltiplo de 13, o número orixinal tamén o é.364: porque 36+4·4= 52 é múltiplo de 13.Para números de máis de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras, sumar e restar alternativamente os grupos de dereita a esquerda e aplicar o criterio de arriba ó resultado obtido. Se é múltiplo de 13, o número orixinal tamén o é.432549: porque 549-432 = 117, e 11 + 4·7 = 39, é múltiplo de 13.14O número é divisible entre 2 e 7.224: Ver criterios anteriores15O número é divisible entre 3 e 5.255: Ver criterios anteriores16O número formado polas catro últimas cifras é múltiplo de 16.254176: porque 4176 é múltiplo de 16.17Ó número obtido ó suprimir a última cifra réstaselle esta última cifra multiplicada por 5, e debe ser múltiplo de 17.493: porque 49-5·3 = 34 es múltiplo de 17.18O número é divisible entre 2 e 9.576: Ver criterios anteriores19Ó número obtido ó suprimir a última cifra súmaselle esta última cifra multiplicada por 2, e debe ser múltiplo de 19.323: porque 32+3·2 = 38 é múltiplo de 19.20O número acaba en cero e a penúltima cifra é par.480: porque acaba en 0 e 8 é par.21O número é divisible entre 3 e 7.231: Ver criterios anteriores22O número é divisible entre 2 e 11.220: Ver criterios anteriores24O número é divisible entre 3 e 8.480: Ver criterios anteriores25As dúas últimas cifras son 00 ou múltiplo de 25.9325: porque acaba en 2526O número é divisible entre 2 e 13.234: Ver criterios anteriores28O número é divisible entre 4 e 7.336: Ver criterios anteriores30O número acaba en cero e a suma das súas cifras é un múltiplo de 3.690: porque acaba en cero e 6+9+0 = 15, múltiplo de 3
Véxase tamén Táboa de divisores
Categoría:Teoría de números
es:Divisibilidad