miniatura|300px|Catro exemplos e dous anti-exemplos de topoloxías no conxunto de tres puntos {1,2,3}. O exemplo inferior esquerdo non é unha topoloxía, pois a unión {2} e {3}, igual a {2,3}, non é parte da colección. O exemplo inferior dereito tampouco é unha topoloxía porque a intersección de {1,2} e {2,3}, igual a {2}, non é parte da colección.
Un espazo topolóxico é unha estrutura matemática que permite a definición formal de conceptos como converxencia, conectividade e continuidade. A rama das matemáticas que estuda os espazos topolóxicos é a topoloxía.
Definición Un espazo topolóxico é un conxunto E de elementos, que xunto con T, unha colección de subconxuntos de E, chamados abertos de E, satisfán as seguintes propiedades:
1. O conxunto baleiro e E están en T.
2. A intersección de calquera colección finita de conxuntos de T está tamén en T.
3. A unión de toda colección de conxuntos de T está tamén en T.
Esta condición tamén pode escribir:
Os conxuntos en T son os conxuntos abertos, e os seus complementos en E, son chamados conxuntos cerrados.
A colección T é chamada topoloxía en E. Os elementos de E acostúmase chamarlles puntos, aínda que poden ser calquera obxecto matemático. Un espazo topolóxico no cal os puntos son funcións denomínase espazo funcional.
Ao conxunto E denomínase substrato do espazo topolóxico.
Un espazo topolóxico é un par onde é un conxunto e é unha topoloxía en .
Exemplos Topoloxía trivial ou indiscreta: é a formada por e . Topoloxía discreta: é a formada polo conxunto das partes de . Topoloxía dos complementos finitos: é a formada por e os conxuntos de , cuxos complementarios son finitos. Topoloxía dos complementos numerables: é a formada por e os conxuntos de , cuxos complementarios son numerables. R, conxunto dos reais, e T, o conxunto dos intervalos abertos no sentido usual, e das reunións de intervalos abertos. Recta de Sorgenfrey, a recta real, xunto coa topoloxía do límite inferior.
Topoloxía usual
Dise que está dotado coa topoloxía usual se é o espazo topolóxico xerado polas bólas abertas en , é dicir, pola unión de subconxuntos da forma , onde e é un real positivo. Ademais, esta topoloxía coincide coa topoloxía métrica inducida en pola distancia usual dada por , sendo e elementos de .
Categoría:Topoloxía