Groenewold–Van Hoveov teorem u teorijskoj fizici teorem je o nemogućnosti potpune kanonske kvantizacije, odnosno o nepostojanju preslikavanja koje funkcije iz faznog prostora klasične mehanike preslikava u hermitske operatore na Hilbertovu prostoru.
Povijesni kontekst
Nakon što su Leonhard Euler i Joseph-Louis Lagrange ustanovili analitičku mehaniku sljedeće su je generacije matematičara i fizičara usavršavale i tvorile sve apstraktnije formulacije.
Hamiltonova mehanika bila je sljedeći korak, a 1809. godine Poisson je uveo svoje zagrade, u dijelu: Sur la variation des constantes arbitraires dans les questions de mécanique.Mémoire sur la variation des constantes arbitraires, dans les questions de mécanique Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 1, année 1816, 1818 (p. 1-70).https://fr.wikisource.org/wiki/M%C3%A9moire_sur_la_variation_des_constantes_arbitraires,_dans_les_questions_de_m%C3%A9canique Jammer, Max (1966). The Conceptual Development of Quantum Mechanics. McGraw-Hill. p. 233.
U 20. stoljeću, kada su Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger i Paul Dirac ustanovljavali kvantnu mehaniku, Dirac je u svojem dijelu iz 1925. godine The fundamental equations of quantum mechanicshttps://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.1925.0150 ustanovio povezanost između Poissonovih zagrada i komutatora u kvantnoj mehanici.
Dirac svojoj knjizi Principles of Quantum MechanicsDirac, P. A. M. (1982). Principles of Quantum Mechanics. USA: Oxford University Press. ISBN 0-19-852011-5. govori o kanonskoj kvantizaciji, odnosno o pravilu pomoću kojeg se mogu preslikati funkcije iz faznog prostora u hermitske operatore kvantne mehanike, odnosno:
Ovaj prijedlog bi se mogao protumačiti kao da bismo trebali tražiti "kvantizacijsku mapu" koja preslikava funkcije koje djeluju na klasičnom faznom prosotu u operatore na Hilbertovom vektorskom prostoru:
Sada je poznato da ne postoji takva kvantizacijska mapa koja zadovoljava gornji identitet točno za sve funkcije and Upravo o tome govori Groenewold–Van Hoveov teorem.
Odnosno, Diracovo pravilo kanonske kvantizacije je zapravo više ad-hoc pravilo, koje se može koristiti kao heuristika, ali matematički nije rigorozno moguće pronaći takvo preslikavanje.
Definicija Aksiomi kvantizacije predstavljaju uvjete koje mora zadovoljavati preslikavanje iz klasične u kvantnu mehaniku. Postoje četiri takva aksioma.
Ako je kvantizacijsko preslikavanje koje djeluje nad funkcijama u klasičnom faznom prostoru, onda sljedeća četiri aksioma moraju biti zadovoljena kako bi se izvršilo preslikavanje:
i (operatori položaja i količine gibanja) mora biti linearno preslikavanje (Poissonova zagrada) (von Neumannovo pravilo).
Međutim, ne postoji takvo preslikavanje koje bi zadovoljavalo sva četri aksioma. Štoviše, ne samo da su ta četiri svojstva međusobno nekonzistentna, nego su i bilo koja tri od njih nekonzistentna.Ali, S. Twareque; Engliš, Miroslav (2005). "Quantization Methods: A Guide for Physicists and Analysts". Reviews in Mathematical Physics. 17 (4): 391–490. arXiv:math-ph/0405065. doi:10.1142/s0129055x05002376. ISSN 0129-055X. S2CID 119152724.
Primjer neuspjele kvantizacije Groenewolde u svojem dijelu On the Principles of Elementary Quantum Mechanicshttps://www.rug.nl/research/vsi/events/groenewold/groenewold-article.pdf iz 1946. godine daje konkretan primjer neuspjele kvantizacije:
gdje predstavljaju Poissonove zagrade, je koordinata položaja, a količina gibanja.
Nakon uvođenja supstitucije propisane kanonskom kvantizacijom:
dobije se sljedeći izraz:
Vidi se kako ovaj izraz nije jednak kao što je prvi klasični izraz bio. Time je dokazano kako je provizorna metoda kanonske kvantizacije uistinu samo provizorna te kako preslikavanje funkcija klasične mehanike u operatore kvantne mehanike nije trivijalna stvar.
Izvori
Kategorija:Kvantna mehanika