U mehanici kontinuuma Cauchyjeva jednadžba gibanja vektorska je parcijalna diferencijalna jednadžba koju je postavio francuski matematičar Augustin-Louis Cauchy, a koja opisuje nerelativistički prijenos količine gibanja u bilo kojem kontinuumu.
Iz Cauchyjeve jednadžbe gibanja se uz pripadajuće konstitutivne jednadžbe izvode jednadžbe linearne elastičnosti, odnosno: Navier-Cauchyjeve jednadžbe
te jednadžbe dinamike fluida, odnosno: Navier-Stokesove jednadžbe.
Definicija
U konvektivnom (ili Lagrangeovom) obliku Cauchyjeva jednadžba momenta je sljedeća jednadžba:
Lijeva strana tu predstavlja materijalnu derivaciju vektora brzine , predstavlja gustoću fluida, je Hamiltonov operator, je Cauchyev tenzor naprezanja, a gravitacijsko ubrzanje.
Materijalna derivacija je nelinearni operator i definira se kao
Izvod jednadžbe
Kao temeljnu jednadžbu može se uzeti zakon očuvanja količine gibanja ili drugi Newtonov zakon. Anderson, John D. Jr. (1995). Computational Fluid Dynamics (PDF). New York: McGraw-Hill. pp. 61–64. ISBN 0-07-001685-2.
Ovdje će se krenuti od drugog Newtonovog zakona:
gdje je količina gibanja.
Za diferencijalni element količina gibanja iznosi:
Ukupna sila koja djeluje na element sastoji se od površinskih sila (zbog naprezanja) i masenih sila (npr. gravitacija):
gdje predstavlja diferencijal volumena.
Uvrštavanjem u drugi Newtonov zakon i dijeljenjem s , dobiva se Cauchyjeva jednadžba gibanja:
Izvori
Kategorija:Mehanika