Pod kvadratnom nejednadžbom podrazumijevamo nejednadžbu u kojoj se nepoznata veličina pojavljuje pod znakom potencije 2.
Kvadratna nejednadžba Kvadratna nejednadžba gdje je Kvadratnu nejednadžbu gdje je b = 0 možemo prikazati, na primjer, u obliku:
iz čega slijedi da je:
Ako su oba člana a i c pozitivna ili negativna, tada nejednadžba neće imati rješenje u skupu realnih brojeva. Ako je točno jedan od članova negativan (odnosno pozitivan), nejednadžba će imati kao rješenje skup svih vrijednosti x iz intervala: i ,
Primjer:
Neka je zadana nejednadžba: . Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:
, gdje se skup svih vrijednosti x koje udovoljavaju početnoj nejednadžbi nalazi unutar intervala i ,
Kvadratna nejednadžba gdje je c=0 Kvadratnu nejednadžbu gdje je c=0 možemo prikazati, na primjer, u obliku:
što se može prikazati i kao: . Gornji uvjet je ispunjen u dva različita slučaja:
i te i odakle se može zaključiti o intervalu unutar kojeg se nalazi skup svih vrijednosti x koje udovoljavaju nejednadžbi.
Primjer:
Neka je zadana nejednadžba: . Gornji uvjet je ispunjen u dva različita slučaja: i i i
gdje iz a) slijedi da mora biti x<0 i x>-4, te iz b) slijedi da mora biti x>0 i x<-4 Uvjet pod b) je nemoguć, a uvjet pod a) daje sve vrijednosti x za koje je nejednadžba rješiva, gdje se skup vrijednosti x nalazi unutar intervala: .
Kvadratna nejednadžba sa svim članovima Kvadratnu nejednadžbu sa svim članovima, oblika: ili
najlakše je riješiti na način da se nađe rješenje odgovarajuće kvadratne jednadžbe:
da se odredi graf funkcije:
te da se tada iz grafa funkcije odredi za koje intervale vrijednosti x je funkcija veća od nule, jednaka nuli ili manja od nule u sukladnosti sa zadatkom.
Primjer: thumb|right|<center><center> Neka je zadana nejednadžba: .
U cilju nalaženja svih vrijednosti x koje koje udovoljavaju nejednadžbi, nalazimo najprije rješenje jednadžbe:
gdje su rješenja: .
Razmatrajući funkciju (slika desno): ,
zaključujemo da su rješenja kvadratne jednadžbe nultočke i grafa funkcije . Za sve vrijednosti x za koje je i vrijednost funkcije manja ili jednaka nuli bit će ispunjen uvjet dat u nejednadžbi da je:
Sve vrijednosti x iz intervala: bit će zato skup vrijednosti rješenja zadane nejednadžbe. Kvadratna nejednadžba samo je poseban slučaj polinomne nejednadžbe n-tog reda za n=2, gdje se takva nejednadžba općenito može riješiti ako se mogu naći ishodišta odgovarajuće polinomne funkcije. Literatura Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.
Kategorija:Nejednadžbe