A Fourier-transzformáció (ejtsd: Furié) függvényen elvégzett integráltranszformáció, a Laplace-transzformáció speciális esete.
A Joseph Fourier által bevezetett, és ezért róla elnevezett Fourier-transzformáció a jelfeldolgozás hasznos eszköze. Alkalmazásával a vizsgált hullám különböző tulajdonságainak elemzésére van lehetőség, ezért rendkívül sok területen alkalmazzák. Többek között a tudományos kutatásokban, a fizikában az időtérbeli hullámok frekvenciaanalízisében, a spektroszkópiákban, a mérnöki alkalmazásokban az irányítás-, szabályozástechnikában.
A digitális jelfeldolgozás gyakran alkalmazott módszere a diszkrét Fourier-transzformáció (DFT). A gyakorlatban a sok lépést igénylő számítási feladatokban a gyors Fourier-transzformációt (Fast Fourier Transform, FFT) alkalmazzák.
Egy függvény Fourier-transzformáltjára vonatkozóan az alkalmazási területnek megfelelően a szakirodalomban többféle jelöléssel lehet találkozni, mint például:
Bár a jelölésrendszer különbözik, a transzformáció jelentése a különböző szakterületeken azonos.
Fourier-sorok
A periodikus függvények Fourier-sorba fejthetők:
,
ahol az alapfrekvencia, a periódus reciproka.
A differenciálható függvények Fourier-sora pontonként konvergens, ami nem igaz minden integrálható függvényre (Kolmogorov konstrukciója). Sőt, van folytonos függvény, aminek Fourier-sora periódusonként egy pontban divergál (Reiman). A Dirichlet–Jordan-konvergenciatétel szerint az korlátos változású függvény Fourier-sora minden pontban -beli jobb és bal oldali határértékének számtani közepéhez tart. A négyzetesen integrálható függvények Fourier-sora normában konvergens. Ez a Riesz–Fischer-tétel közvetlen következménye.
Folytonos függvény Fourier-transzformáltja A Fourier-transzformációt a periodikus függvényekre értelmezhető Fourier-sorok alapján, annak nem periodikus függvényekre érvényes általánosításával lehet bevezetni. Egy integrálható függvény Fourier transzformáltja a következő:
Tulajdonságai A Fourier-transzformáció korlátos lineáris operátor. Unitér
Vezessük be a következő műveleteket: transzláció moduláció dilatáció
Ezek a műveletek a következő kapcsolatban vannak a Fourier-transzformációval:
Jelölje a konvolúciót. Ekkor
Legyen és jelölje deriváltját . Ha és is integrálható, akkor mindenütt differenciálható, és
A Fourier-transzformáció invertálható:
Példák Háromszögjel:
thumb|150px|A háromszögjel különböző közelítései
A háromszögjel fázisszögtől függően szinuszos vagy koszinuszos kifejezésekkel közelíthető. A képletekben jelöli az amplitúdót:
Négyszögjel:
thumb|150px|A négyszögjel különböző közelítései
Hasonlóan a négyszögjel:
Fűrészfogjel: (növekvő)
thumb|150px|A fűrészfogjel különböző közelítései
Ugyanígy közelíthetők szinuszos kifejezésekkel a pontra szimmetrikus függvények. Itt a váltakozó előjelek fáziseltolódást eredményeznek:
Szinuszjel:
thumb|150px|A szinuszjel abszolút értékének különböző közelítései
Diszkrét Fourier-transzformáció A Fourier-transzformációnak diszkrét változata is van:
Sokszor ezt használják a gyakorlatban, mert csak véges sok mintavételezés lehetséges. A függvény értelmezési tartományáról felteszik, hogy diszkrét és véges. Nem tévesztendő össze a Fourier-sorral.
Gyors Fourier-transzformáció A gyors Fourier-transzformáció (FFT = Fast Fourier Transform) a diszkrét Fourier-transzformált kiszámítására szolgál. Ehhez egyenközű mintavétel szükséges, ahol . Műveletigénye . A mintavételezés frekvenciáját úgy kell választani, hogy legalább kétszer akkora legyen, mint a maximális feldolgozandó frekvencia, különben torz kép jön létre. Több perióduson át kell mintavételezni úgy, hogy a mintavételezés máshova essen az egyes periódusokban. Például, ha a jel frekvenciája 1 kHz, akkor jobb 2100 Hz-cel mintavételezni, mint 2000-rel, és még jobb mondjuk 4100 Hz-cel, vagy még ennél is nagyobb frekvenciával.
A sor:
ahol
Algoritmus A gyors Fourier-transzformáció rekurzív algoritmus, ami a divide et impera elvén működik.
Legelőször is idézzük fel, hogy a pontú diszkrét Fourier-transzformáció a következőképpen definiálható:
Legyenek a páros indexű együtthatók
és ezek diszkrét Fourier-transzformáltja ;
hasonlóan, jelölje a páratlan indexű együtthatókat
és legyen ezek diszkrét Fourier-transzformáltja .
Ekkor:
Pszeudokód Az algoritmus pszeudokódja:
Alkalmazások A Fourier-transzformációknak és a Fourier-soroknak számos alkalmazásuk van: a valószínűségszámítás, statisztika elméletében a(z elektromágneses) jelfeldolgozásban a hang- és videotechnikában a rezgésanalízisben analóg áramkörök leírásában spektrométerekben differenciálegyenletek megoldásában távközlési rendszerekben az interferometrikus távcsövek (pl. ALMA) jelfeldolgozásában
Források S. Bochner, K. Chandrasekharan: Fourier Transforms. Princeton Book Comp. Publ., 2001, . O. Föllinger, M. Kluwe: Laplace-, Fourier- und z-Transformation. Hüthig, 2003, . B. Lenze: Einführung in die Fourier-Analysis. Logos Verlag, Berlin 2000, . M. J. Lighthill: Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions. Cambridge University Press, Cambridge 2003, . A. Papoulis: The Fourier Integral and Its Applications. McGraw-Hill, New York 1962, . E. M. Stein, R. Shakarchi: Fourier Analysis: An Introduction. Princeton University Press, Princeton 2003, . James W. Cooley, John W. Tukey: An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series. In: Math. Comput. 19, 1965, S. 297–301. C. M. Rader: Discrete Fourier transforms when the number of data samples is prime. In: Proc. IEEE 56, 1107–1108 (1968). Leo I. Bluestein: A linear filtering approach to the computation of the discrete Fourier transform. In: Northeast Electronics Research and Engineering Meeting Record 10, 1968, S. 218-219. Georg Bruun: z-Transform DFT filters and FFTs. In: IEEE Trans. on Acoustics, Speech and Signal Processing (ASSP) 26, Nr. 1, 1978, S. 56-63. M. T. Heideman, D. H. Johnson, C. S. Burrus : Gauss and the History of the Fast Fourier Transform. In: Arch. Hist. Sc. 34, Nr. 3, 1985. Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung. 3. Auflage. R. Oldenbourg Verlag, München/Wien 1999, . E. Oran Brigham: FFT. Schnelle Fourier-Transformation. R. Oldenbourg Verlag, München/Wien 1995, . Kuczmann Miklós: Jelek és rendszerek Simon Péter: Fourier-transzformáció Periódusanalízis A Fourier-transzformáció, társai és alkalmazásaik Fourier-transzformációs IR készülékek Diszkrét rendszerek és jelek Fourier-analízise A Fourier-transzformáció rövid elmélete és gyakorlati alkalmazása Fourier-sorok, Fourier-transzformáció, egységimpulzus FFT Python Kapcsolódó szócikkek Fourier-sor Fourier-analízis Fourier-optika Fourier-transzformációs infravörös spektroszkópia
Kategória:Analízis Kategória:Alkalmazott matematika