A matematikai kalkulusban a Taylor-tétel egy módszert ad arra, miként lehet polinomfüggények segítségével egy szabadon megválasztott kezdőpontból kiindulva közelítést adni bármely, abban a pontban kellően kellően sokszor differenciálható függvényre. A kezdőponttól távolodva a közelítés egyre pontatlanabb lesz, a pontatlanság mértékét egy ún. maradéktag segítségével becsülhetjük.
Taylor tétele egyváltozós valós függvényekre Ha az függvény -szer differenciálható az pontban, akkor:
Az maradék egzakt integrál alakja:
A maradék Lagrange-féle alakja: , ahol az és az számok közé esik.
A maradék Cauchy-féle alakja: , ahol az és az számok közé esik.
Bizonyítás Legyen az F függvény meghatározva így:
A függvény "a" és "x" pontbeli értékeiből adódik:
A függvény deriváltjaként
egyszerűsítés után egy rövidebb formát kapunk:
vagyis F kifejezhető a következő határozatlan integrállal is:
amit a fentiekbe behelyettesítve: kapjuk a Taylor tétel Integtrál alakját:
Lagrange-féle maradék A Cauchy-féle középértéktételt alkalmazva az és függvényekre :
kapjuk a Lagrange féle maradékot: ahol "" az (,) intervallumon belül van valahol, a középértéktételből adódóan.
Cauchy-féle maradék A Cauchy-féle középértéktételt alkalmazva az és függvényekre hasonlóan számolva mint a Lagrange maradéknál,
kapjuk a Cauchy féle maradékot: ahol "" az (,) intervallumon belül van valahol, a középértéktételből adódóan.
A maradék közelítő értéke A Cauchy-féle középértéktételt alkalmazva az és függvényekre az (a,x) intervallumon:
kapjuk a maradék egy más fajta alakját:
mejnek segítségvel megadható a maradék közelítő értéke amikor "" tart a végtelenbe és az (a,x) intervallumon:
ahol
Kategória:Matematikai tételek