jobbra|bélyegkép|200x200px|Egy derékszögű háromszög: a c oldal az átfogó, az a és b oldalak pedig a befogók A síkmértanban a derékszögű háromszög az a háromszög, amelynek az egyik szöge derékszög (mértéke π/2 radián vagy 90°). A derékszöggel szemközti oldalt átfogónak nevezik, és ez a legnagyobb. A másik két oldalt befogónak nevezzük.
Általános adatok
A két hegyesszög összege 90° – ez a pótszögek tétele is egyben. Az átfogóra húzott oldalfelező az átfogót két egyenlő részre osztja. Bármely derékszögű háromszög körbeírható, a körülírt kör középpontja az átfogó közepén található. Minden derékszögű háromszög ortocentruma a derékszög tetején található.
A derékszögű háromszög megadásához még két további független adatra van szüksége: két oldalra és szerepükre, vagy egy oldalra és egy szögre. Az egyik befogóhoz tartozó magasság a másik befogó.
Ha a befogók vannak megadva, akkor az egyik befogóra az egyik végében állított merőlegesre felmérjük a másik befogót.
Ha egy befogó és az átfogó van megadva, akkor az átfogót elfelezzük, és Thalész-kört húzunk. A Thalész-kört elmetsszük a befogó sugarú körívvel.
Ha egy hegyesszög van megadva, akkor a harmadik szög kiszámítható. Ezután kezelhető, mintha egy oldal lenne adva két szöggel, vagy két oldal és a nagyobbal szemközti szög lenne megadva. Például befogó, és a szög, akkor -ből húzunk egy félegyenest, ami az befogóval szöget zár be. A -ből az -ra bocsátott merőleges az egyenest -ban metszi, így kapjuk az háromszöget.
Ha a átfogó van megadva, és a szög, akkor az átfogóra Thalész-kört húzunk. Ahol a szöget bezáró félegyenes metszi ki a harmadik pontot.
Ha a megadott három oldal derékszögű háromszöget alkot, akkor pitagoraszi hármast alkotnak, mint például . Képletek A derékszögű háromszög matematikai képletei Kerület (és félkerület)TerületÁtfogóBefogóMagasságSzögA beírt kör sugaraA hozzáírt körök sugaraiA körülírt kör sugara
Pitagorasz tétele a derékszögű háromszögre bélyegkép|Pitagorasz tételének illusztrációja Pitagorasz tétele: a befogók hosszai négyzeteinek összege megegyezik az átfogó hosszának négyzetével. Ez ábrázolható az ABC derékszögű háromszögben, ahol AB az átfogó, C pedig a derékszög (lásd a fenti ábrák jelöléseit). Pitagorasz tétele kimondja, hogy:
Ez azt is jelenti, hogy a befogókra emelt négyzetek területének összege megegyezik az átfogóra emelt négyzet területével. Ennek egyik következményeként az átfogóhoz tartozó magasság úgy osztja ketté, hogy két újabb derékszögű háromszög keletkezik. Az ide tartozó mennyiségek: , és az átfogó szakaszai; a , , hosszak, illetve a , , hosszak derékszögű háromszögeket adnak meg. Két adat ismeretében a többi négy adat kiszámítható:
Pitagorasz tételeBefogótételMagasságtételÁtfogószeletek
Magasságtételek
Az első magasságtétel
Egy derékszögű háromszögben az átfogóra húzott magasság hossza a befogók átfogóra eső vetületeinek mértani közepe.
vagy
ahol a CD az átfogónak megfelelő magasság, az AD és a BD pedig a befogók átfogóra eső vetületei (lásd a szomszédos ábrát).
A második magasságtétel Az átfogónak megfelelő magasság és az átfogó szorzata egyenlő a befogók szorzatával, azaz ha az ABC egy derékszögű háromszög, C = 90° (lásd a szomszédos ábrát), és a CD merőleges az AB-re, akkor érvényes:
A befogótétel A derékszögű háromszögben minden befogó négyzete egyenlő az átfogó és a befogó átfogóra eső vetületének szorzatával.
Legyen ABC egy háromszög, amelynek C szöge = 90°, és CD merőleges az AB-re (lásd a fenti ábrákat). Ekkor felírható, hogy:
vagy
Szögek
A 45°-os szög tétele Egy derékszögű háromszögben, amelynek egyik hegyesszöge 45°, ebből következően a másik is 45°, így az átfogóra húzott magasságvonal hossza az átfogó felével egyenlő.
A 30°-os szög tétele Egy derékszögű háromszögben, amelynek egyik hegyesszöge 30°, az ezzel a szöggel szemben fekvő befogó hossza megegyezik az átfogó hosszának felével.
A 15°-os szög tétele Egy derékszögű háromszögben, amelynek egyik hegyesszöge 15°, a 15°-os szöggel szembeni magasság hossza az átfogó hosszának a negyede.
Eddy tétele thumb|240px|jobbra|2. ábra: Bizonyítás a kerületi és középponti szögek tételével thumb|240px|jobbra|1. ábra: Bizonyítás szimmetria alapon Ez a tétel már korábban is ismert volt, de önállóan csak 1991-ben mondták ki: A derékszögű háromszögben a derékszög szögfelezője az átfogóra emelt négyzetet két egyenlő területű részre osztja.
Tétel: Legyen tetszőleges derékszögű háromszög úgy, hogy átfogója az átfogóra emelt négyzet , a derékszög szögfelezője, mely a négyzetet az és a pontokban metszi, és két négyszög keletkezik, és
Bizonyítás: A) Bizonyítás szimmetria elven: lásd az 1. ábrát, hasonlóan a Pitagorasz-tétel kiegészítéses bizonyításához.
B) Egy alternatív bizonyítás: két megállapításból áll: Az és háromszögek egybevágók. Ez csak akkor teljesül, ha a szögfelező áthalad a középpontján.
Először meghatározzuk az átló középpontját, majd az pont körül húzunk egy sugarú kört, és a átfogó felezőmerőlegesét. ami a kört a és pontokban metszi, a négyzettel vett másik metszéspontja . Az metszéspont megfelel a négyzet középpontjának. Végül összekötjük az és az pontokat.
Az beírt háromszög középponti szöge -nél . A kerületi és középponti szögek tétele szerint az szög , így a szögfelező áthalad az középponton.
Ebből adódóan az és az háromszögek egybevágók, tehát az és négyszögek területe megegyezik.
További tételek Egy derékszögű háromszögben az pont körüli sugarú, illetve a pont körüli sugarú kör az átfogót a és pontokban metszi. Ekkor a szakasz hossza megegyezik a beírt kör átmérőjével.
Bizonyítás: A befogóhosszak összegének és az átfogó hosszának különbsége , így az átfogóra leforgatott befogók átfedése .
Egy háromszögben az , és háromszögek , és beírt körök sugarainak összege megegyezik a magassággal. (1. és 2. ábra)
Bizonyítás:
Következik az az észrevétel, hogy Ross Honsberger: Gitter - Reste - Würfel Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1984, , Seite 29Huseyin Demir, Leon Bankoff: Problem E 1197, American Mathematical Monthly, Los Angeles, (Kalifornien) (1956), Seite 493 (2., 3. és 4. ábra)
thumb|5. ábra Derékszögű háromszögben a derékszög szögfelezőjének további szögfelező tulajdonsága, amit az 5. ábra mutat.
Bizonyítás: A sárga derékszögű háromszögben a szögfelező, a magasság, és a derékszög oldalfelezője. Be kell látni, hogy az szöget is felezi.
Az 5. ábra a háromszöget egy oldalhosszú négyzetté kiegészítve mutatja. Az , és szakaszokat meghosszabbítjuk egészen a négyzet oldalaiig, ahol rendre a , és metszéspontokat hozzák létre. A felismerés következik az , és háromszögek páronkénti egybevágóságából, hiszen az oldalhosszak , , és ezek derékszöget zárnak közre. Emiatt és is egybevágó, amiből a szimmetriaátlójú deltoid összeáll.
thumb|200px|6. ábra Ha egy derékszögben összekötjük a befogók felezőpontjait az átfogó magasságtalppontjával, akkor a két összekötő szakaszból és a két fél befogóból képzett négyszögnek derékszöge van a talppontnál.
Bizonyítás: A derékszögű háromszögben a oldalfelezője, és az derékszögű háromszögben a oldalfelezője. Ezért Thalész-körének sugara, és Thalész-körének sugara. Innen következik, hogy az háromszög egyenlő szárú, a szárhosszal, az és alapszögekkel. A háromszög egyenlő szárú az szárhosszal, meg a és alapszögekkel. Mivel a és a szögek, illetve az és szögek ugyanakkorák, és az háromszög derékszögű, a és szögek nagyságának összege , Emiatt nagysága is , amiből a megfigyelés következik.Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, , Seite 81–83
Következmény: Az és szakaszok, illetve az és szakaszok egyenlő hossza miatt a zöld négyszög egy speciális deltoid két derékszöggel. Az szimmetriaátló az és derékszögű háromszögekre osztja, melyek Thalész-köre közös. Innen következik, hogy húrnégyszög.
Egy a, b befogójű, C átfogójú derékszögű háromszög beírt körének r sugara kétféleképpen is számítható az oldalhosszakból:
thumb|220px|8. ábra thumb|327px|7. ábra
A bizonyítás a derékszögű háromszög beírt körének tulajdonságán alapul. A 7. ábra szerint , amiből azonnal adódik az első következtetés. A 8. ábra mutatja az
összefüggést. Ebből egyszerű átalakítással kapjuk a második összefüggést..Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, , Seite 28 Nevezetes pontok A négy klasszikus nevezetes pont, a magasságpont a derékszögnél levő csúcs, a körülírt kör középpontja pedig az átfogó felezőpontja. A súlypont és a beírt kör középpontja a háromszögön belül van.
A Feuerbach-kör középpontja a magasságpont és a körülírt kör középpontjának összekötő szakaszának felezőpontja, és szintén a háromszögön belülre esik. A Feuerbach-körön kilenc nevezetes pont található, melyek közül a magasságpont pozíciója miatt csak öt látható. Ezek az oldalfelező pontok, valamint a magasságtalppontok. A többi nevezetes pont erre az öt helyre esik. A nevezetes pontok kapcsolatai és helyzetük összehasonlítható a hegyesszögű háromszögével. A körülírt kör középpontja, a súlypont, a Feuerbach-kör középpontja és a magasságpont egy egyenesre esik, a háromszög Euler-egyenesére. Egyenlőtlenségek thumb|200px| 1. ábra: thumb|200px| 2. ábra:
Az és befogókra , így . Ha hozzáadunk mindkét oldalhoz -et, akkor , also . A Pitagorasz-tétel alkalmazásával következik , amiből adódik az
egyenlőtlenség, melynek jobb egyenlőtlensége a számtani és mértani közép egyenlőtlenségének speciális esete.
A bal egyenlőtlenséget a német szakirodalomban a derékszögű háromszög háromszög-egyenlőtlenségének nevezik.Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, , Seite 18Canadian Mathematical Olympiad 1969 Problem 3, veröffentlicht von der Canadian Mathematical Society
A kifejezést a bal egyenlőtlenséget osztva kapjuk, hogy . mivel , amiből következik, hogy
Abbó, hogy , és mivel , , következik a reciprokokra. Ez más alakban , melyet mindkét oldalon megszorozva -vel adódik, hogy . Mivel , kapjuk, hogy
Az és az egyenlőségek pontosan akkor teljesülnek, ha , azaz egy egyenlő szárú derékszögű háromszögre, , és -os szögekkel. Egy átlójával elfelezett négyzet fele.
Kapcsolat az aranymetszéssel thumb|hochkant=2|Aranymetszés a derékszögű háromszögben Legyen egy olyan derékszögű háromszög, melyben , és mértani sort alkot, azaz , és , úgy, hogy . Legyen az átfogó hosszabb szelete, az átfogó rövidebb szelete, a -hez tartozó magasság, és az talppontja. Ekkor: , . Közvetlenül adódik, hogy: az és mértani közepe , , , a , és háromszögek hasonlóak, Az első két észrevétel bizonyítása: . Mivel a szakaszhossz szükségképpen pozitív, azért és .Hans Walser: Der Goldene Schnitt - Geometrische und zahlentheoretische Betrachtungen, 7., überarbeitete und erweiterte Auflage, Springer Spektrum, Berlin 2023, , Seite 41
Állandó arányok a derékszögű háromszög elemei között A derékszögű háromszögben a szögek és az oldalak közt állandó arányok állnak fenn, ezek: a szinusz, a koszinusz, a tangens, a kotangens. Amennyiben a szögek változhatnak, ezek független változókként ún. trigonometriai függvényeket hívnak életre.A szög mértékének szinuszát a szöggel szemben fekvő befogó és az átfogó hányadosa adja meg:
A szög mértékének koszinusza a szög melletti befogó és az átfogó hosszának hányadosa:
A szög mértékének tangense a szöggel szemben lévő befogó és a szög melletti befogó hosszainak hányadosa:
A szög kotangense a szög melletti befogó és a szöggel szemben fekvő befogó hányadosa:
Legyen X egy szög mértéke, és (90° – X) a kiegészítő szögének mértéke. Ezután a következő összefüggések adódnak, az I. negyedben:
Trigonometrikus függvényértékek 0°, 30°, 45°, 60° és 90°-os szögek esetén Szinusz Koszinusz Tangens + végtelen Kotangens + végtelen