bélyegkép|Öt nyolclépéses véletlenszerű séta egy központi pontból. Egyes útvonalak nyolc lépésnél rövidebbnek tűnnek, ahol az útvonal átfed önmagával (videóváltozat) A matematikában a véletlen bolyongás (angolul random walk) egy diszkrét idejű sztochasztikus folyamat, amely egy olyan utat ír le valamilyen matematikai halmazon, például az egész számokon, ami véletlenszerű lépésekből áll. A kifejezést először Karl Pearson vezette be 1905-ben.
A véletlen bolyongás elemi példája a véletlenszerű séta az egész számok halmazán, amely 0-val kezdődik, és minden lépésnél egyenlő valószínűséggel +1 vagy lépést tesz. További példák közé tartozik a molekula nyomvonala, miközben folyadékban vagy gázban halad (lásd a Brown-mozgást), a táplálékot kereső állat keresési útvonala, az ingadozó készletek árai és a szerencsejátékos pénzügyi helyzete: mindezt lehet modellezni véletlenszerű bolyongási modellek segítségével, még akkor is, ha a ezek a jelenségek valóságban nem feltétlenül véletlenszerűek.
Amint azt ezek a példák szemléltetik, a véletlen bolyongás alkalmazható a mérnöki tudományokban és számos tudományterületen, beleértve az ökológiát, a pszichológiát, a számítástechnikát, a fizikát, a kémiát, a biológiát, a közgazdaságtant és a szociológiát. A véletlen bolyongás megmagyarázza számos folyamat megfigyelt viselkedését ezeken a területeken, és így alapvető modellként szolgál a sztochasztikus folyamatok elméletében. Matematikaibb alkalmazásként a értéke egy ágens alapú modellezési környezetben véletlen bolyongással közelíthető.Wirth E. (2015). Pi from agent border crossings by NetLogo package. Wolfram Library Archive
Véletlenszerű séta rácson Egydimenziós véletlen bolyongás bélyegkép|balra|120px|Érmedobás bélyegkép|jobbra|250px|Nyolc különböző véletlen bolyongás ábrázolása eltérő színekkel. A vízszintes tengelyen az idő, azaz a dobások sorszáma, a függőlegesen pedig az aktuális pozíció, azaz értéke van feltüntetve
A véletlen bolyongás elemi példája a véletlenszerű séta a számegyenes egész értékein . Tegyük föl, hogy a 0 pontban vagyunk, és bizonyos időközönként egyenlő valószínűséggel (vagyis 50-50 százalék eséllyel) eggyel növeljük vagy eggyel csökkentjük az aktuális értéket, azaz periódusonként véletlenszerűen egy egységnyi lépést teszünk a pozitív vagy a negatív irányban.
Ezt a sétát a következőképpen szemléltethetjük. Egy jelölőt helyeznek a nullára a számegyenesen, és egy szabályos érmét dobnak fel. Ha a fejre esik, a jelölő egy egységgel jobbra kerül, jobbra lépünk egyet. Ha az írásra esik, a jelölő egy egységgel balra kerül, balra lépünk egyet. Öt dobás után a jelző a , , , 1, 3, 5 pontokon állhat. Öt dobással, három fejjel és két írással, tetszőleges sorrendben, az 1-esre kerül. 10 módja van, hogy az 1-es jöjjön ki (három fej és két írás dobásával), 10 módja a -1-re való kerülésnek (három írás és két fej dobásával), 5 módja a 3-asra kerülésnek (négy fej és egy írás dobásával) és így tovább. Az alábbi ábra szemlélteti a lehetséges kimeneteleket: bélyegkép|középre|800px|Minden lehetséges véletlen kimenetel egy szabályos érme ötszöri feldobása után
Ennek a bolyongásnak a matematikai leírásához vegyünk független valószínűségi változókat: , amik a dobásoknak felelnek meg. Minden változó 1 vagy lehet 50%-os valószínűséggel, vagyis egy dobás kimenetelének várható értéke . Azaz .Minden Zi a p=1/2 paraméterű Bernoulli-eloszlású X valószínűségi változó transzformáltja: Zi=2X–1.
Legyen és Az sorozatot egyszerű véletlen bolyongásnak hívják az egész számok halmazán. Ez a sorozat (a -k és 1-ek sorozatának összege) megadja a nettó megtett távolságot, ha a bolyongás minden lépése 1 hosszúságú. Az maga is egy paraméterű binomiális eloszlású<ref>Pontosabban a B binomiális eloszlás transzformáltja. {0, 1, 2,..., n} helyett {–n, –n+2, ... , n–2, n} a lehetséges kimenetelek halmaza, vagyis B helyett Sn ~ 2B–n</sub>.</ref> valószínűségi változó lehetséges minimumértékkel és lehetséges maximumértékkel, a várható értéke, pedig nulla. A várható érték linearitásából ugyanis következik:
Vagyis az összes érmefeldobás eredményeként az összeg nullához közelít, ahogy a feldobások száma növekszik.
Hasonló számítás, a valószínűségi változók függetlenségét és azt a tényt felhasználva, hogy :
Ez arra utal, hogy , a várható teljes megtett távolság n lépés után nagyságrendű. Valóban:
Több dimenzióban A számegyenesen való bolyongást egyszerűen kiterjeszthetjük több dimenzióra: például három dimenzióban három érmét dobunk fel, és jobbra lépünk, ha az első érme fej, balra ha írás, felfelé, ha a második érme fej, lefelé, ha a második érme írás, és hátra, ha a harmadik érme fej, előre, ha a harmadik érme írás. A három érmedobás eredménye együtt meghatározza a következő pozíciót a háromdimenziós számrácson.
Magasabb dimenziókban a véletlenszerűen besétált pontok halmaza érdekes geometriai tulajdonságokkal rendelkezik. Valójában egy diszkrét fraktált kapunk, vagyis egy olyan halmazt, amely sztochasztikus önhasonlóságot mutat. A véletlen bolyongás pályája a meglátogatott pontok összessége, amelyet halmaznak tekintünk, figyelmen kívül hagyva, hogy a bolyongás mikor érkezett a ponthoz. Egydimenzióban a pálya egyszerűen az összes pont a minimális és a maximális meglátogatott szám között.
Tulajdonságai A véletlen bolyongás martingál, vagyis ha valamely egész rácspontba eljutottunk a véletlen bolyongás során, akkor az onnan folytatódó új véletlen bolyongás alakulásáról semmilyen információt nem ad a múltban bejárt út. A folytatódó véletlen bolyongás várható értéke az új kiindulási pont lesz, nem az eredeti.
A Wiener-folyamattal való kapcsolata Ha a lépések hosszát nagyon lecsökkentjük , az érmedobásokat felgyorsítjuk, azaz lecsökkentjük az két dobás közti időt , és megnöveljük a dobások számát, akkor határértékben egy folytonos sztochasztikus folyamatot kapunk, amit Wiener-folyamatnak neveznek.
A Wiener-folyamat felé való konvergenciát a centrális határeloszlás-tétel (CHT) és a Donsker-tétel szabályozza. Ismert rögzített helyzetben lévő részecskére t = 0 időben, a CHT azt mondja, hogy a véletlenszerű séta nagyszámú független lépése után a sétáló pozíciója az alábbiak szerint oszlik el:
ahol t az eltelt idő, a lépés nagysága, és a két egymást követő lépés között eltelt idő.
Wiener-folyamattal szokás a részecskék Brown-mozgását modelelzni.
Gaussi véletlenszerű séta Tovább általánosíthatjuk a matematikai modellünket, ha a lépések nagysága is véletlenszerűen változik, nem csak az irányuk.
A normális eloszlástól függően változó lépésmérettel rendelkező véletlenszerű bolyongás modellként használható valós idősoros adatokhoz, például a pénzügyi piacokon. Az opcióárak modellezésére szolgáló Black–Scholes-modell például egy Gauss-féle véletlen bolyongást használ alapfeltevésként.
Az egydimenziós Gauss-féle véletlen bolyongás felfogható független és azonos eloszlású valószínűségi változók sorozatának összegeként: ha valamely -k független, normális eloszlású valószínűségi változók 0 átlaggal és azonos szórással, akkor
.
Ekkor
,
ugyanis két független, normális eloszlású valószínűségi változó összegének eloszlása a következő:
.
Esetünkben és , vagyis
.
Indukcióval n lépésre adódik az állítás.
Bármilyen 0 átlagú és véges varianciájú (nem feltétlenül csak normális eloszlású) eloszlás esetén a lépéseknél a teljes megtett út négyzetes középértéke n lépés után
.
Fordítás
Jegyzetek
Kategória:Sztochasztikus folyamatok Kategória:Lapok ellenőrizetlen fordításokkal