A tetráció (más néven exponenciális leképezés, hatványtorony, szuperhatványozás vagy hyper4) valójában iteratív hatványozás, az első hiperművelet a hatványozás után. A tetráció szót Reuben Louis Goodstein alkotta meg a tetra (görög eredetű előtag, jelentése: négy) és az iteráció szavakból.
Egyes források szuperhatványfüggvényeken olyan függvényeket értenek általában, amelyek a hatványoknál gyorsabban, de az exponenciálisan növő függvényeknél lassabban nőnek.
A tetráció a hatványozást követi az alábbi értelemben:
szukcesszió: , összeadás: , szorzás: , hatványozás: , tetráció: ,
ahol minden műveletet az előző iterálásával határozunk meg.
Az szorzat másképpen „b darab a összege”, hasonlóképpen az hatvány „b darab a szorzata”. Tehetünk egy további lépést, így kapjuk a vagy módon jelölt tetrációt, amely „b darab a hatványozása”.
bélyegkép|x↑↑n, ahol n = 2, 3, 4, 5, 6 és 7
Fontos megjegyezni, hogy többszintű hatványok kiértékelésekor először a legbelső szintet értékeljük ki (ez jelölésben a legfelső). Például
(Ez a műveletek sorrendjének általános szabálya ismételt hatványozásra alkalmazva.)
Jelölés A fenti első kifejezés (a tetráció) általánosításához új jelölésre van szükség (lásd lentebb), viszont a második kifejezést írhatjuk alakban is.
Így az általános forma még mindig hagyományos hatványjelölést használ.
A jelölések, amikkel a tetráció leírható (némelyik magasabb szintű iterációt is megenged), például a következők:
Standard jelölés: ; először Maurer használta; Rudy Rucker A Végtelen és az elme (Infinity and the Mind) című könyve ezt a jelölést népszerűsítette. Knuth-nyilas jelölés: ; itt több nyilat is alkalmazhatunk vagy indexelt nyilat Conway-nyílláncolat: ; a kettes szám növelésével kiterjeszthető (ez azonos a fenti kiterjesztésekkel), vagy erőteljesebben a láncolat meghosszabbításával. hyper4 jelölés: ; a 4-es szám növelésével terjeszthető ki, az adja a hiperoperátorok családját.
Az Ackermann-függvényt így jelölhetjük: , azaz .
A hatványjel (^) is ugyanígy használható, így a tetráció ASCII jelölése ^^, például a^^b.
A tetrációra igazak a következők:
, monoton növekszik, folytonos.
Példák (A tizedesvesszőt tartalmazó értékek közelítőek).
n = n↑↑1 n↑↑2 n↑↑3 n↑↑4 1 1 1 1 2 4 16 65536 3 27 7,63×1012 4 256 1,34×10154 5 3125 1,91×102184 6 46 656 2,70×1036 305 7 823 543 3,76×10695 974 8 16 777 216 6,01×1015 151 335 9 387 420 489 4,28×10369 693 099 10 10 000 000 000 1010 000 000 000
A függvény gyorsabban növekszik a szuperhatványfüggvényeknél is, ha például = 10:
(az egy googol)
(ez egy googolplex) A függvény -t -nál lépi át:
Kiterjesztés a második operandus kis értékeire A kapcsolat felhasználásával (ami következik a tetráció definíciójából), kikövetkeztethetjük vagy definiálhatjuk értékeit, ha .
Ez megerősíti az intuitív definíciót, miszerint egyszerűen . Ilyen minta alapján azonban további iterációval nem lehet további értékeket kikövetkeztetni, mivel nincs értelmezve.
Hasonlóan, mivel sem értelmezett (mert ),a fenti következtetés nem működik, ha = 1. Ezért nek is értelmetlennek kell maradnia. (A kifejezés nyugodtan maradhat 1.)
Néha a t is értelmetlennek veszik. Ebben az esetben értékeit sem definiálhatjuk közvetlenül. Azonban meghatározott és létezik:
Ez a határérték marad negatív -eknél is. eszerint határozható meg, és ez összefér azzal, ha (mivel a 0 páros).
A tetráció a -1-nél kisebb kitevőkre nem terjeszthető ki rekurzióval, mivel
Kiterjesztés valós kitevőkre Jelenleg nincs általánosan elfogadott módszer a nem egész valós kitevőkre való kiterjesztésre. A továbbiakban néhány megközelítést mutatunk be.
Általában egy szuperexponenciális függvényt keresünk, ahol valós, továbbá , , minden -re.
Ezekhez még egy követelményt hozzá szoktak tenni: mindkét változójában folytonos, ha differenciálható x-ben egyszer, kétszer, vagy végtelenszer reguláris, és minden -ra.
A negyedik követelmény megközelítésenként változik. A két fő megközelítés egyik a regularitást követeli meg, a másik a differenciálhatóságot. A két megközelítés annyira különböző módszereket használ, hogy azt sem tudjuk, hogy az eredmények megegyeznek-e.
Ha valahogy definiáljuk az függvényt egy 1 hosszúságú intervallumon, akkor a rekurzív összefüggés szerint minden számra definiálva lesz.
Lineáris approximáció
Az alábbi approximáció megfelel a folytonossági követelménynek, és approximál egy differenciálható megoldást:
Így:
{| class="wikitable" ! Approximáció ! Tartomány
és így tovább. Megjegyzendő, hogy ez a függvény csak szakaszonként differenciálható, mivel x egész értékeinél a derivált megszorzódik -val.
Példák
Hooshmand cikkének fő tétele: legyen ; ha folytonos, és megfelel ezeknek a feltételeknek: , differenciálható -n, nemcsökkenő vagy nemnövekvő -n, ,
akkor -re teljesül, hogy: ahol x törtrésze, és az -iteráltja.
A bizonyítás azon alapul, hogy a 2–4. feltételekből következik, hogy a függvény lineáris a zárt intervallumon.
Az természetes alapú tetráció lineáris approximációja folytonosan differenciálható, de második deriváltja nem létezik az egész helyeken. Hooshmand bizonyított egy másik egyértelműségi tételt is, ami kimondja, hogy:
Ha folytonos függvény, amelyre
, minden -re és , konvex -en, ,
akkor , ahol Hooshmand jelölése a természetes alapú tetrációfüggvény lineáris közelítésére.
Ez a tétel az előbbihez hasonlóan bizonyítható; a rekurzió biztosítja, hogy , és a konvexitás miatt lineáris a intervallumon.
Így a természetes alapú tetráció lineáris approximációja az egyértelmű megoldása, és , ami konvex -en. Az összes többi differenciálható megoldásnak inflexiós pontja van -ban.
Magasabb rendű approximációk Egy kvadratikus approximáció:
ami differenciálható x-ben minden -ra, de csak egyszer. Ha , akkor ez megegyezik a lineáris approximációval.
Mivel a toronyhatvány fentről lefelé számítandó ki, ezért nem teljesül a hatványozáshoz hasonló összefüggés:
.
Egy köbös approximációt és további approximációs eljárásokat találni ebben a hivatkozásban:Andrew Robbins. Solving for the Analytic Piecewise Extension of Tetration and the Super-logarithm.
Komplex számok tetrációja bélyegkép|Tetráció megjelenítése periódus alapján
bélyegkép|Tetráció megjelenítése szökés alapján
Mivel a komplex számokat is lehet hatványozni, a tetráció alkalmazható az formájú számokra, ahol az imaginárius egység. Például ha , akkor esetén a tetrációt úgy érjük el, ha alkalmazzuk a természetes logaritmussal való felírást és észrevesszük a kapcsolatot:
Ebből bármilyen esetén rekurzívan definiálhatjuk az tetrációt:
, .
Innen kaphatjuk a következő közelítő értékeket, ahol a rendes hatványozást jelöli.
A kapcsolat megfejtésével a várt -et és -t kapjuk, végtelen eredménnyel a képzetes tengelyen. A komplex számsíkon ábrázolva a sorozat spirálisan tart egy körüli határértékhez, amit úgy értelmezhetünk, mint azt a helyet, ahol a tetráció kitevője a végtelenbe tart.
Az ilyen tetrációs sorozatokat már Euler ideje óta tanulmányozzák, de kaotikus viselkedésük miatt nehezen érthetők. A legtöbb publikált kutatás a hatványtorony-függvény konvergenciájával foglalkozik. A mai kutatás nagy segítségei a gyors számítógépek fraktál- és matematikai szoftverei. A tetrációval kapcsolatos ismereteink nagy része a komplex dinamika általános eredményeiből és az exponenciális leképezés kutatásából származik.
Komplex kitevők 400px|right|thumb|Az analitikus tetráció to a komplex számsíkon. Vastagított vonalakkal kiemelve az és az szintek.
Egy sejtés szerint az függvényegyenletnek van egy egyértelmű F megoldása, amely teljesíti a következő tulajdonságokat:
, F(z) megközelíti a logaritmus fixpontjait, ha z tart -hez, F holomorf a teljes komplex síkon, kivéve a valós tengely félegyenesét, melynek pontjaban F-nek szingularitásai vannak.
Ennek a függvénynek dupla pontosságú (double precision) komplex közelítése elérhető online.
A holomorfia kikötése biztosítja az egyértelműséget, mivel sok függvény konstruálható, amire:ahol az és valós sorozatok elég gyorsan csökkennek ahhoz, hogy biztosítsák a konvergenciát legalább kis értékeire.
Ez az függvény a tetrációhoz hasonlóan viselkedik: , S(0)=1, és jól választott és valós sorozatok esetén analitikus lesz a valós tengely pozitív félegyenesének környezetében. Azonban, ha {α} vagy {β} nem az azonosan nulla sorozat, az függvénynek még több szingularitása és szakadási egyenese keletkezik, mivel a szinusz- és a koszinuszfüggvény abszolút értéke exponenciálisan nő a valós tengelytől távolodva. Minél kisebbek az {α} és a {β} együtthatók, annál távolabb lesznek ezek a szingularitások a valós tengelytől. A valós analitikus tetráció nem egyértelmű, ezért kell a komplex síkra kiterjeszteni.
Nyitott kérdések és is 1, tehát a megoldás. Jelenleg (2016) még az sem ismert, hogy nq lehet-e egész bizonyos pozitív egész n-re és alkalmasan választott q pozitív nem egész racionális számra.Marshall, Ash J., and Tan, Yiren, "A rational number of the form aa with a irrational", Mathematical Gazette 96, March 2012, pp. 106-109. Még azt sem tudjuk, hogy 4x = 2 -ben az x pozitív szuperlogaritmus racionális szám-e.
Inverz Mivel a tetráció művelete nem kommutatív, ezért két inverz művelete van. Az alap keresésére a szupergyök- vagy hipergyökfüggvény szolgál, a kitevőt szuper- vagy hiperlogaritmus adja meg.
Szupergyök A szupergyök ismert kitevő esetén az alapot keresi, azaz ha , akkor y az x egy n-edik szupergyöke.
Példák:
vagyis 65 536 negyedik szupergyöke 2, és
így 3 a 7 625 597 484 987 harmadik szupergyöke, vagy szuperköbgyöke.
Szupernégyzetgyök
A második szupergyök, négyzetszupergyök, vagy szupernégyzetgyök jelölései és . Az inverze, és reprezentálható a Lambert-féle W-függvénnyel:
A szupernégyzetgyökben a gyökvonás és a logaritmus szerepe szimmetrikus; a következő egyenlet csak akkor igaz, ha :
A négyzetgyökhöz hasonlóan a szupernégyzetgyök sem egyértelmű. Meghatározása nem olyan egyszerű, mint a négyzetgyöké. Általában, ha , akkor x-nek két szupernégyzetgyöke van 0 és 1 között; ha , akkor szupernégyzetgyöke egyértelmű, és szintén nagyobb egynél. Hogyha pedig , akkor nincs valós hipernégyzetgyöke, de a fenti képlet megszámlálható végtelen szupernégyzetgyököt ad, ha x különbözik 1-től. A függvényt használták adatklaszterek méretének kiszámítására.BOSTON UNIVERSITY COLLEGE OF ENGINEERING – EFFICIENT SELF-ORGANIZATION OF LARGE WIRELESS SENSOR NETWORKS
Más szupergyökök Az egészekre nx értelmes és növekvő függvény minden -re, , így x-nek létezik n-edik szupergyöke.
Azonban a fenti lineáris approximáció szerint , ha , így ebben a tartományban az megoldhatatlan.
A szuperköbgyök az kifejezésben keresi az y-t. Jelölése: . A negyedik szupergyök , és általában, az n-edik szupergyök . Ahogy a szupernégyzetgyöknél láttuk, ez nem biztos, hogy egyértelmű. Például, ha n páratlan, akkor egy, ha n páros, akkor két valós szupergyök lehet.
Mivel bizonyos számok esetén a végtelen hatványtornyoknak is véges értéket lehet tulajdonítani, ezért a megfelelő 1/e ≤ x ≤ e értékek esetén végtelenedik szupergyök is kereshető. Jegyezzük meg, hogy -ból következik, hogy , így . Emiatt, ha létezik, akkor , így ez elemi függvény. Például .
A Gelfond–Schneider-tételből adódik, hogy egy pozitív egész szupernégyzetgyöke vagy egész, vagy transzcendens, és szuperköbgyöke vagy egész, vagy irracionális. Nyitott kérdés azonban, hogy az irracionális transzcendensek-e utóbbi esetben.
Szuperlogaritmus A minden valós számra, így a negatívakra is értelmezett, ahol a > 1.
A függvény eleget tesz a következőknek:
Példák:
Végtelen hatványtornyok
A sor a 2-höz tart, így egyenlőnek tekinthetjük azzal. A 2-höz tartás úgy látható be, ha kiértékelünk egy véges tornyot:
Általában az végtelen hatványtorony esetén konvergens. Tetszőleges valós -re, ha , legyen ; ekkor a határérték . Ha , akkor nincs konvergencia ( maximuma ).
Ezt komplex számokra is kiterjeszthetjük a következő definícióval:
ahol Lambert W-függvényét jelöli.
Kapcsolódó szócikkek