bélyegkép|198px|jobbra|Jelölések a háromszögben
A szinusztétel egy geometriai tétel, miszerint egy tetszőleges háromszög oldalainak aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszainak arányával. Tehát
vagy (ritkábban)
A szinusztétellel ekvivalens az az állítás, miszerint bármely hegyesszögű háromszögben egy szög szinuszának és a szöggel szemközti oldal aránya állandó (tehát ez az arány független attól, hogy melyik oldalra és vele szemközti szögre írjuk fel). Ez az állandó nem más, mint az adott háromszög körülírt köre átmérőjének reciproka:
ahol R a körülírt kör sugara. A tételt inkább ennek a fordítottjaként használjuk:
ahol s a háromszög egyik oldala, σ pedig a vele szemben lévő szög.
Bizonyítás
Derékszögű háromszögekkel A szokásos jelöléssel élve legyen T a c oldalhoz tartozó magasság talppontja (a c oldal és a hozzá tartozó magasságvonal metszete) és legyen a CT magasságszakasz hossza m. Ekkor az ATC illetve a CTB derékszögű háromszögben felírva az α illetve a β szög szinuszát kapjuk, hogy és Ezt a két egyenletet elosztva egymással kapjuk, hogy
Köréírt körrel I A kicsit többet mondó, a körülírt kör sugarát tartalmazó állítás bizonyítása pedig: a körülírt kör S középpontját véve, az SAB háromszög egyenlő szárú lesz, hisz SA=SB=r; s ezért ennek S ponthoz tartozó magasságvonala (egyébként ez az AB=c oldal felezőmerőlegese) felezi a c oldalt. Legyen a c=AB oldal felezőpontja F, ekkor az SFA háromszög derékszögű (hisz elmondtuk, hogy SF merőleges AB=c-re); és S-nél lévő szöge a jelen állítástól függetlenül bizonyítható kerületi és középponti szögek tételéből adódóan γ. Felírva ebben a háromszögben e szög szinuszát: . Ebből már adódik, hogy ezt a mennyiséget c-vel osztva, épp -t kell kapnunk. Eredményünket a c oldal megválasztásától függetlenül kaptuk, tehát érvényes az a, b oldalakra és az α, β szögekre is. QED.
bélyegkép|291px|jobbra|Szinusztétel bizonyítása
Területképletből
A trigonometrikus területképlet felhasználásával egészen rövid bizonyítást kapunk: , tehát .
Köré írt körrel II Adott az , ahol , valamint . A köré írt kör középpontja , sugara . Vegyük fel a háromszög egyik csúcsából kiinduló átmérőt, legyen ez a csúcs ! Ekkor az átmérő másik végpontja . Ekkor a kerületi szögek tétele alapján, valamint derékszögű, ezt a Thalész-tétel garantálja. Ekkor a szinuszfüggvény definíciója alapján kapjuk, hogy . Ez bármelyik oldalra igaz lesz, ebből következik a tétel. Ha tompaszög, akkor a kör középpontja a háromszögön kívül fekszik, így a -nél fekvő szög mellékszöge lesz. Ez nem okoz problémát, tudván, hogy . Derékszög esetén pedig a tétel triviálisan igaz. QED
Alkalmazások A szinusztétel segítségével a háromszög három független adatából – két oldala és az azokkal szemben fekvő szögei közül – meghatározhatjuk a hiányzó negyediket. A nagyobb oldallal szemközti szög meghatározásakor két megoldást is kaphatunk, mert egy adott (1-nél kisebb) szinuszértékhez egy hegyes- és egy tompaszög is tartozik, ezért mindig mérlegelni kell, melyik megoldás jó. Egy oldal és két szög Ekkor a háromszög harmadik szöge kiszámítható a szögek összegéből:
A háromszög második oldala megkapható a következőképpen: Ha adva van az oldal, és a szögek ismertek, akkor a oldal: .
A harmadik oldal hasonlóan megkapható: , és ezzel a háromszöget megoldottuk. Két oldal és a nagyobbal szemközti szög A szinusztételt a kisebb oldallal szemközti szög szinuszára írjuk fel. Adva legyenek az és oldalak, ahol , és adva legyen az szög. Ekkor .
Mivel , azért , és mivel a háromszög szögösszege 180°, azért , vagyis hegyesszög, tehát csak hegyesszögű megoldás fogadható el, amit az árkusz szinusz függvénnyel kaphatunk vissza: .
A harmadik szöget kiszámítjuk a háromszög szögösszegének tételéből:
A harmadik oldal megkapható a szinusztétel újbóli alkalmazásával, vagy koszinusztétellel: , ezzel a háromszöget megoldottuk. Két oldal és a kisebbel szemközti szög Ha a rövidebb oldallal szemközti szög van megadva, akkor többnyire két megoldás van. Adva legyenek az és oldalak, ahol , és az szög, ekkor a szinusztétel szerint .
Az egyik megoldás , a másik megoldás pedig . A hosszabb oldallal szemközti esettel ellentétben nem zárható ki. A körülírt kör sugara A körülírt kör sugarára teljesül, hogy .
Innen a körülírt kör sugara számítható. Más geometriákban Gömbi geometria thumb|378px|Méretek a gömbháromszögön: , és az A, B illetve C oldalakkal szemközti szögek A gömbi geometriában a szinusztétel a következő alakot ölti:
.
ahol , és az oldalak ívmértéke, és , és a velük szemben fekvő szögek a gömb felszínén. Bizonyítás Az egységgömb sugara
A pont az sugáron, az pont az sugáron fekszik, úgy, hogy . Az pont az síkban található, úgy, hogy . Következik, hogy és . Mivel az merőleges vetülete az síkra, azért .
A szinuszfüggvény definíciója szerint , . Továbbá . Behelyettesítéssel . Ugyanígy kapjuk, hogy , tehát . Bizonyítás a gömbi koszinusztétellel Mivel , azért
Osztva az egyenletet -tel és négyzetgyökvonással
Az egyenlet jobboldala egyenlő -vel, és egyenlő -vel, mivel ott az , és változók ciklikusan cserélhetők. Hasonlóan levezethető -ra. összesítve adódik, hogy .
Hiperbolikus geometria A -1 görbületű hiperbolikus geometriában a szinusztétel a következő alakot ölti:
Ha derékszög, akkor a fenti képlet így alakul:
ami analóg azzal a képlettel, mely az euklidészi geometriában kifejezi a szög szinuszát, mint a szöggel szemközti oldal és az átfogó hányadosát. Állandó görbületű felületek Legyen a szinuszfüggvény a következőképpen definiálva, ahol valós paraméter:
A állandó görbületű felületen a szinusztétel:
A , és helyettesítésekkel kapjuk az , , és függvényeket, melyek rendre megfelelnek az euklidészi, a gömbi és a hiperbolikus esetekre, melyekről fentebb írtunk.
Jelezze az sugarú kör kerülete egy konstans sugarú felületen. Ekkor . Így a szinusztétel kifejezhető, mint
ahogy azt Bolyai János felfedezte. Magasabb dimenziókban Egy tetraédernek négy háromszöglapja van. A tetraéder egy csúcsában találkozó lapok normálvektorainak poláris szinuszának abszolútértékét elosztva a szemben fekvő oldal területével olyan értéket kapunk, ami nem függ a csúcs választásától:
Általánosabban, egy dimenziós szimplex az dimenziós euklideszi térben az egy csúcsban összefutó hiperlapok normálvektorainak poláris szinuszait osztva a szemben fekvő lap hiperterületével egy oölyan értéket kapunk, ami független a csúcs választásától. Jelölje most a szimplex dimenziós térfogatát, és az dimenziós hiperlapok hiperterületének szorzatát, ekkor a közös arány
Története A szinusztétellel ekvivalens az a kijelentés, hogy egy háromszög oldalhosszai arányosak azoknak a húroknak a hosszával, melyek a háromszög szemben fekvő szögének kétszereséhez tartoznak. Klaudiosz Ptolemaiosz, az i. sz. 2. században élt görög csillagász ismerte és alkalmazta az összefüggést az Almagesztben.
Brahmagupta 7. századi indiai matematikus csillagászati és matematikai munkájában szerepelnek a szinusztétellel rokonítható állítások. A Brāhmasphuṭasiddhānta című művében Brahmagupta egy háromszög köré írt kör sugarát a háromszög két oldalának szorzatával és a szemben fekvő oldalhoz tartozó magasság kétszeresének hányadosával fejezi ki, Ebből a szinusztétel úgy bizonyítható, hogy a háromszög egyik oldalával és egy belső szög szinuszával kifejezzük a háromszög magasságát, az eredményt pedig visszahelyettesítjük. Brahmagupta a Khaṇḍakhādyaka című művében közelebb jutott a modern szinusztételnek megfelelő képlethez, amikor a Föld és más bolygók távolságát határozta meg epiciklusok segítségével. Azonban Brahmagupta nem kezelte a szinusztételt különálló témaként, és nem használta szisztematikusan a háromszögeken alapuló számításokhoz.
A gömbháromszögekre felírt szinusztételt gyakran tulajdonítják a 10. században élt Abu-Mahmud Khujandi és Abu l-Vafá Muhammad ibn Muhammad al-Búzdzsáni tudósoknak, mivel megjelent ez utóbbi Almagestjében is. Abū Naṣr Manṣūr ibn ʿAlī ibn ʿIrāq al-Jaʿdī művében is megtalálható. Tanítványa, Al-Biruni neki tulajdonítja a tételt a Kulcs a csillagászathoz című művében. Ibn Mu'adh al-Jayyani 11. századi műve szintén tartalmazza a gömbi szinusztételt.John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani. In: MacTutor History of Mathematics archive
Naszír ad-Dín Túszí a 13. században megfogalmazta és bizonyította a síkháromszögek szinusztételét:John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: Nasir al-Din al-Tusi. In: MacTutor History of Mathematics archive Egy síkháromszögben az oldalak aránya megegyezik a szemben fekvő szögek szinuszainak arányával. Mai jelöléssel:
A szinusztétel alkalmazásával képes volt számításokat végezni, ha adva volt egy oldal és két szög, vagy pedig két szög és egy oldal. Ha két oldal és az általuk közrezárt szög volt megadva, akkor a háromszöget két derékszögű háromszögre osztotta fel. Ha három oldal volt megadva, akkor merőleges bocsátott az egyik oldalra, és alkalmazta az Elemek II-13-as tételét, ami a koszinusztétel elemi geometriai megfelelője. Megállapította azt a fontos következményt is, hogy a körívek összegéből és különbségéből, illetve a megfelelő szinuszértékek arányából maguk az ívhosszak is kiszámíthatók.
Glen Van Brummelen szerint a 15. században a IV könyvben a német Regiomontanus a szinusztétellel végzett számításokat a derékszögű háromszögekben. Ezekre a számításokra alapozta további számításait általános háromszögekben.
Jegyzetek
Források
Manfred Leppig (Hrsg.): Lernstufen Mathematik. 1. Auflage, 4. Druck. Girardet, Essen 1981, , S. 189–190. H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Geometry Revisited. Mathematical Association of America, Washington, D.C. 1967, S. 1–3.
Glen Van Brummelen: Trigonometry: A Very Short Introduction. Oxford University Press, 2020, S. 63–68. Fordítás
Kapcsolódó szócikkek Koszinusztétel Tangenstétel Kotangenstétel Vetületi tétel Mollweide-formula
Kategória:Háromszögek Kategória:Matematikai tételek Kategória:Trigonometria