A speciális unitér csoport, jelölés szerint a matematikában az olyan unitér mátrixok csoportja, melyek determinánsa egy. A csoport asszociatív csoportművelete a mátrixszorzás, és mivel a speciális unitér csoport egy sima sokaság, amelyben a mátrixszorzás tetszőlegesen sokszor differenciálható, ezért egy Lie-csoport.
Az unitér mátrixok determinánsának abszolút értéke egy, ezt a tulajdonságot szűkíti tovább a speciális unitér csoport. Továbbá, a speciális unitér csoport normálosztója az unitér csoportnak (), mely az unitér mátrixok csoportja, mely részcsoportja az általános lineáris csoportnak. Formálisabb jelölés szerint .
Az csoportok legegyszerűbb esete az , mely egy triviális csoport, tehát egyetlen eleme van, az egységelem, ami ebben az esetben . Az izomorf azon kvaterniók csoportjához, melyeknek normája egy, ezáltal diffeomorf a 3-gömbhöz. Mivel a gömbhéjon elhelyezkedő kvaterniókkal leírhatóak forgatások a háromdimenziós térben (egy előjelig bezárólag), létezik egy szürjektív homomorfizmus és a speciális ortogonális forgatáscsoport között, melynek magja az halmaz, ahol az egységmátrixot jelöli. Mivel a kvaterniók identifikálhatóak a Clifford-algebra páros részével, így az megegyeztethető a spinorok egyik szimmetriacsoportjával, a spincsoporttal.
Az speciális unitér csoportok rendkívül hasznosak a részecskefizika standard modelljében, főleg az elektrogyenge kölcsönhatás leírásában, az pedig a kvantum-színdinamikában.
Tulajdonságai A speciális unitér csoport egy szigorúan valós Lie-csoport, melynek dimenziója egy valós sokaságként . Topológiai tulajdonságai közé tartozik, hogy kompakt és egyszeresen összefüggő., Proposition 13.11 Algebrailag besorolható az egyszerű Lie-csoportok közé, tehát a csoport Lie-algebrája is egyszerű.
A speciális unitér csoport centruma izomorf a ciklikus csoporthoz, mely olyan diagonális mátrixokat tartalmaz, melynek minden eleme az -edik komplex gyöke az 1-nek. Abban az esetben, amikor , az a csoport külső automorfizmuscsoportja, míg az külső automorfizmuscsoportja a triviális csoport.
Az ranggal rendelkező maximális tóruszok megadhatóak olyan diagonális mátrixok halmazaként, melynek determinánsa egy. Az Weyl-csoportja a szimmetrikus csoport .
Lie-algebrája Az Lie-algebrája, jelölés szerint , az olyan antihermitikus komplex mátrixok halmaza, melyek nyoma nulla. Proposition 3.24 A Lie-algebra Lie-zárójele a mátrixok kommutátora. A részecskefizikában gyakran használnak egy alternatív definíciót, mely szerint a csoport Lie-algebrája a nulla-nyommal rendelkező hermitikus mátrixok halmaza, ellátva egy olyan Lie-zárójellel, ami a kommutátor megszorozva -vel. Az algebra dimenziója szintúgy .
Struktúrája Az komplexifikációja az , mely az -es nyommentes komplex mátrixok algebrája. Section 3.6 Ennek Cartan-részalgebrái tehát nyommentes diagonális mátrixokat tartalmaznak, Section 7.7.1 melyek bármelyike megegyeztethető egy olyan vektorral -ben, amelyek komponenseinek összege nulla. A gyökrendszerében ezáltal a számok lehetséges permutációja található meg. Az egyszerű gyököket választhatjuk következőféleképpen:
Következtetésképpen, az csoport rangja , Dynkin-diagrammja pedig , melyet grafikusan egy taggal rendelkező lánccal jelölünk. Section 8.10.1 Az Lie-algebra Cartan-mátrixa a következő:
Az Weyl-csoportja (vagy Coxeter-csoportja) az szimmetrikus csoport, amely az -szimplex szimmetriacsoportja.
Ábrázoláselmélete Mivel az egy egyszeresen összefüggő Lie-csoport, bármelyik ábrázolása (vagy reprezentációja) levezethető a csoporthoz tartozó Lie-algebra (vagy pedig annak komplexifikációjának) ábrázolásaiból. Theorem 5.6 Mivel a csoport kompakt, így a Peter–Weyl-tétel kimondja, hogy az ábrázolásai felbonthatóak irreducibilis ábrázolások direkt összegeként. Továbbá, az csoport nem kommutatív, így léteznek olyan irreducibilis ábrázolásai, melyeknek egynél nagyobb a dimenziója. Fundamentális ábrázolása Egy adott Lie-csoport fundamentális ábrázolása a legkisebb dimenziós nemtriviális irreducibilis ábrázolása. Az algebra esetén ez az az ábrázolás, amely megmutatja, hogy az algebra hogyan hat a testre. Fizikában használt konvenció szerint az algebra generátorainak választhatjuk azokat a nyommentes hermitikus -mátrixokat, melyekre teljesül
ahol a Kronecker-deltát, pedig a szerkezeti tényezőket jelöli, melyek minden indexükben antiszimmetrikusak, míg a -vel jelölt állandók minden indexükben szimmetrikusak.
Következésképpen, a generátorok kommutátora a következő:
a megfelelő antikommutátor pedig:
A kommutátor a fizikusok által használt konvenció szerint úgy teljesíti a Lie-zárójelet definiáló feltételeket, ha tartalmazza az imaginárius egységet, matematikai irodalomban nem található meg, mivel ott a generátorok antihermitikus mátrixok.
Általában a következő normalizáció használatos:
A generátorok teljesítik a Jabobi-identitást:
A fizikusok által használt konvenció oka az, hogy így egyszerűbben leírhatók a fundamentális részecskék bizonyos tulajdonságai, mivel például esetén generátorként választhatók a Pauli-mátrixok -del megszorozva, továbbá az csoportnál a Gell-Mann-mátrixok szintén egy ketteddel megszorozva. Ezen definíciók szerint a generátorok a következőt teljesítik:
Adjungált ábrázolása Egy adott Lie-algebra adjungált ábrázolása az az ábrázolása, melyben az önmagára vetett (Lie-zárójel általi) hatása mutatkozik meg. Ebben az esetben a generátorok olyan -es mátrixok, melyeket a szerkezeti tényezők definiálnak:
Az SU(2) csoport Az olyan -es unitér mátrixok csoportja, melyek determinánsa egy. Pontosabban kifejezve:
ahol például az komplex konjugáltját jelöli. A csoportművelet a mátrixszorzás. Exercise 1.5
Kapcsolata a 3-gömbbel Ha a definícióban szereplő és komplex számokat felbontjuk valós és imaginárius részeikre, tehát , akkor a determinánsra szabott feltétel a következő egyenlet lesz:
Ez pontosan az egységsugarú 3-gömb () egyenlete. Ezt a megfeleltetést lehet egy beágyazásnak is tekinteni: a leképezés
ahol a -es komplex mátrixok halmazát jelöli, egy valós injektív lineáris leképezés. Tehát, -nek a -ra vett korlátozása a 3-gömb beágyazása egy kompakt részsokaságába, pontosabban .
Ennek következtében, diffeomorf -vel, mely bizonyítja, hogy egyszeresen összefüggő, pedig ellátható egy olyan struktúrával, mely egy kompakt, összefüggő Lie-csoporttá teszi.
Kapcsolata az egységkvaterniókkal és a térbeli forgatásokkal Az egységhosszú kvaterniókat röviden egységkvaternióknak hívjuk, és az csoportot generálják. Az általánosan megadott mátrix
leképezhető a következő formájú kvaternióba:
Ez a leképezés egy csoportizomorfizmus, a mátrix determinánsa pedig pontosan a kvaternió normája, tehát izomorf az egységkvaterniók csoportjához.
Minden egységkvaternió megfelel egy háromdimenziós térbeli forgatásnak, az egységkvaterniók szorzata pedig a hozzájuk tartozó forgatások kompozíciójának. Továbbá, bármely háromdimenziós térbeli forgatás pontosan kettő különböző egységkvaternióval írható le. Pontosabban megfogalmazva létezik egy 2:1 szürjektív homomorfizmus és között. Ennek következtében, izomorf az faktorcsoporthoz, az univerzális fedése, továbbá az -at definiáló sokaság létrehozható, ha antipodális pontjait megfeleltetjük egymásnak.
Lie-algebrája Az csoport Lie-algebrájába azon -es antihermitikus mátrixok tartoznak, melyek nyoma nulla. Pontosabban:
Ezt az algebrát a következő három mátrix generálja:
melyek a következő kommutációs relációkat teljesítik:
Ezek a generátorok szoros összefüggésben állnak a kvantummechanikában alkalmazott Pauli-mátrixokkal: és Ennek következtében az algebrával leírható a fundamentális részecskék (például elektronok) spinje.
Továbbá, a Lie-algebra ábrázolásainak segítségével levezethetőek az ábrázolásai.
Az SU(3) csoport Az egy 8-dimenziós valós egyszerű Lie-csoport, mely olyan -as unitér mátrixokat tartalmaz, melyek determinánsa egy. Topológiai tulajdonságai Az csoport egyszeresen összefüggő és kompakt. Proposition 13.11 A csoport topológiai struktúrája megérthető abból a tulajdonságából, hogy tranzitív módon hat az egységgömbre a térben. A gömb bármelyik pontjának stabilizátora izomorf -vel, amely topológiailag a 3-gömb. Ebből következik, hogy egy fibrált nyaláb, melynek bázistere , fibruma (vagy rostja) pedig . Mivel a fibrum és a bázistér is egyszeresen összefüggő, ebből következik, hogy is egyszeresen összefüggő. Section 13.2
Homotópiacsoportok hosszú egzakt sorozatát vizsgálva bizonyítható, hogy az csoport egy nemtriviális (csavart) -nyaláb bázistér felett. Lie-algebrája Az Lie-algebrája , amely a -as (fizikai konvenció szerint) hermitikus mátrixokat tartalmazza, melyek nyoma nulla. Az algebra generátorai a
mátrixok, ahol a Gell-Mann-mátrixokat jelöli, melyek a Pauli-mátrixok háromdimenziós megfelelői:
A Gell-Mann-mátrixok a következő kommutációs és antikommutációs szabálynak tesznek eleget:
ahol a Lie-algebra szerkezeti tényezőjeit jelöli. Ezek esetén a következők:
ahol olyan , melyek nem érhetőek el az előbb felsoroltak permutációjaként, automatikusan nullák. A szimmetrikus tényezők a következők:
Egy általános csoportelem, melyet egy -as hermitikus nyommentes mátrix generál, leírható a következő másodfokú mátrixpolinommal:
ahol
Általánosított speciális unitér csoport Adott test esetén definiálható az általánosított speciális unitér csoport , mely azon lineáris leképezések csoportja, melyek determinánsa egy és egy feletti -dimenziós vektortérhez tartoznak. Továbbá, ezek a leképezések változatlanul hagynak egy nemelfajuló, szeszkvilineáris formát, melynek szignatúrája . Az mező felcserélhető egy kommutatív gyűrűre, ebben az esetben viszont a vektortér felcserélődik egy szabad modulusra.
Amennyiben egy szignatúrával rendelkezőTehát p pozitív és q negatív sajátértéke van. hermitikus mátrixot, akkor minden -re teljesül
Amennyiben a csoport -ként van jelölve bármiféle testre való utalás nélkül, akkor a test általában a komplex számtest .
SU(1,1) Az egy fontos példája az általánosított speciális unitér csoportoknak. Definíció szerint a következő:
Ez a csoport izomorf az és a csoportokkal, ahol a vesszővel elválasztott két szám annak a kvadratikus alaknak a szignatúrájára utal, melyet a csoport változatlanul hagy. A definícióban található kifejezés egy hermitikus forma, melyből egy izotropikus másodfokú forma lesz, ha a -t és -t a valós komponenseire felbontjuk.
A csoport egy korai formája a kokvaterniók egységgömbjeként mutatkozott meg. Legyen
A három mátrix szorzata a kétdimenziós egységmátrix, továbbá mind a három mátrix antikommutál, mint a kvaterniók esetében. Továbbá, ugyanúgy az egységmátrix -szeresének négyzetgyöke, azonban . Mind a kvaterniók, mind a kokvaterniók esetén a skalármennyiségek többszöröseinek tekinthetők, így a továbbiakban a szakaszban az jelölés lesz alkalmazva.
A kokvaternió (ahol egy skalár) konjugáltja , hasonlóan a kvaterniókhoz. Az általuk definiálható másodfokú forma A kokvaterniók egységgömbjében ez a mennyiség 1, mely így pontosan megfeleltethető az csoportnak, ha a definícióban használt és komplex számokat felbontjuk valós és imaginárius részükre.
Fontos részcsoportok A speciális unitér csoportot a fizikában fermionrendszerek szimmetriáinak leírására alkalmazzák. A spontán szimmetriasértés elméletében fontos bizonyos részcsoportjait felismerni. Például, a nagy egyesített elméletben jelentős részcsoportok esetén
ahol a a direkt szorzatot jelöli, pedig izomorf a körcsoporthoz, mely olyan komplex számokat tartalmaz, melyek normája egy.
Bizonyos ortogonális és szimplektikus csoportok is részcsoportjai -nek:
Az részcsoportja a következő Lie-csoportoknak:
A következő izomorfizmusok gyakran használatosak: .
Jelentősége a fizikában