bélyegkép|jobbra|200px|Inga bélyegkép|jobbra|200px|Matematikai inga A matematikai inga egy elhanyagolható tömegű hosszúságú fonalra függesztett, tömegű pontszerű testből áll, amelyre szabad erőként csak a nehézségi erő hat. Az egyensúlyi helyzetéből kitérített inga csillapítatlan periodikus mozgást végez. Ennek az idealizált modellnek a gyakorlati megvalósítása egy vékony fonálra felfüggesztett fémgolyó (egy fonálinga), ami az egyensúlyi helyzetéből kitérítve, függőleges síkban egy körív mentén a két szélső helyzet között közelítőleg csillapítatlanul leng.Demény A., Erostyák J., Szabó G., Trócsányi Z.: Fizika I. Klasszikus mechanika, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2005, bélyegkép|jobbra|200px|A matematikai inga lengése. A kék vektor jelzi a pillanatnyi sebességet, a piros vektor a pillanatnyi gyorsulást, pedig a kitérés szögét. A mozgás egyenletei A matematikai inga mozgását a dinamika alapegyenletéből lehet meghatározni. A nehézségi erőn kívül hat még a fonálban ébredő erő (F), ami mindig a fonál irányában hat, azaz a mozgás során mindig sugárirányú. Ez a fonálerő és a nehézségi erőnek a sugárirányú komponense hozza létre a körpályán való mozgáshoz a centripetális erőt. Erre a következőt írhatjuk fel: ,
ahol: a fonálban ébredő erő, a test tömege, a földi nehézségi gyorsulás, a fonál függőlegessel bezárt szöge, a fonál hossza, a lengést végző tömegpont pillanatnyi sebessége.
A fonálban ébredő kényszererő nagysága a mozgás során tehát változik. Legnagyobb az értéke a pálya legalsó pontján, amikor a fonál függőleges, és a sebesség a legnagyobb. A szélső helyzetben a legkisebb.
A nehézségi erő érintő irányú komponense a körpálya menti gyorsulást hozza létre, és így meghatározza az inga helyzetét, a fonál függőlegessel bezárt szögét az idő függvényében. Erre a következőt írhatjuk fel:
,
ahol az érintő (tangenciális) irányú gyorsulás.
A tangenciális gyorsulás és a szöggyorsulás () kapcsolata: .
A szöggyorsulás a szögkitérés második deriváltja: .
Így a szögkitérésre a következő másodrendű differenciálegyenletet kapjuk:
.
A tömeggel egyszerűsítve, átrendezés után: .
Kis kitérések esetén a szinuszfüggvényt közelíteni lehet magával a szöggel:
.
Ezt a közelítést alkalmazva kapjuk:
.
Bevezetve a következő jelölést: ,
az egyenlet a következő alakra hozható: .
Ez az egyenlet a harmonikus rezgőmozgást végző test mozgásegyenlete. A matematikai inga mozgása tehát kis kitéréseknél körfrekvenciájú harmonikus rezgőmozgásnak tekinthető. A lengés periódusideje: .
Az inga helyzetét leíró időfüggvény, a szögkitérés az időfüggvényében a következő alakú:
,
ahol a szögelfordulás amplitúdója (a legszélső helyzethez tartozó szög) és a kezdőfázis (a kezdeti nulla időponthoz tartozó helyzetet jellemző szögkitérés). A szögre kitérített, majd magára hagyott inga esetében , és így
Az inga mozgásának közelítő megoldásából látszik, hogy kis kitérési szögek esetén a lengések frekvenciája nem függ az inga tömegétől és a lengések amplitúdójától, csak az inga hosszától és a nehézségi gyorsulástól. A közelítés megfelelő (1%-os relatív hiba alatti), ha a kilengések 9,9 foknál kisebbek, és még elfogadható (maximum 2,5%-os bizonytalanságú), ha a kilengések maximum 15 fokosak.
Jegyzetek
Külső hivatkozások Interaktív inga Fizikakönyv.hu – Az inga
Kategória:Ingák