A Bernoulli-számok a számelméletben előforduló sajátos értékek. A racionális számokból álló Bernoulli-számsorozatot a következő rekurzió határozza meg:
továbbá
és így tovább. Általánosan a következő rekurzív képlettel értelmezzük a sorozatot: .
Így adódik a sorozat.
A definíció alapján kaphatjuk, hogy teljesül a
sorfejtés. Ebből igazolható, hogy .
A páros indexű Bernoulli-számok a Riemann-féle zéta-függvény segítségével is definiálhatóak a következőképpen:
Különféle sorfejtésekben is előfordulnak, például:
A Bernoulli-számok számlálói és nevezői T. Claussen és C. von Staudt egymástól függetlenül a következő tételt fedezte fel: Ha , akkor , ahol azon p prímszámokat összegezzük, amelyekre . Mivel 2-1=1 és 3-1=2 osztója 2-nek, innen azonnal adódik Rámánudzsan észrevétele, hogy ekkor nevezője osztható 6-tal.
Aszimptotikus becslés
n nagy értékeire érvényes a következő aszimptotikus formula: .
Kategória:Nevezetes számsorozatok