jobbra|bélyegkép|280x280px|A perdületmegmaradás bemutatása A tehetetlenségi nyomaték (SI egysége a kg×m²), a tömeggel analóg mennyiség forgómozgásnál. Vagyis a tehetetlenségi nyomaték a forgást végző merev test forgási tehetetlensége. Szokásos jelölése , vagy .
Áttekintés Egy merev test tehetetlenségi nyomatéka egy adott tengely körül azt adja meg, hogy „mennyire nehéz” megváltoztatni a szögsebességét a tengely körül.
Analógia: A tehetetlenségi nyomaték egy forgást végző testnél ugyanazt jelenti, amit egy egyenes vonalon haladó testnél a tömeg jelent. Mégpedig azt, hogy mekkora energiát tárol adott test, adott mozgásállapotával. A tárolt energia és a tehetetlenségi nyomaték(vagy analógia esetében a tömeg) egyenes arányosságban áll egymással.
Szemléltetésként vegyünk egy A és egy B tárcsát, melyek tömege egyenlő. Az A tárcsa sugara legyen nagyobb, mint B sugara. Feltételezve, hogy a tárcsák anyaga homogén és vastagságuk azonos, nehezebb felgyorsítani (azaz a szögsebességét növelni) az A tárcsát, mivel tömege átlagosan távolabb van a tengelytől. Azt mondjuk, hogy A tehetetlenségi nyomatéka nagyobb, mint B tehetetlenségi nyomatéka.
A tehetetlenségi nyomatéknak két alakja van, az egyiket, az skaláris alakot akkor használjuk, ha az forgás tengelyét ismerjük, a másik, általánosabb tenzor alakjához nem kell ismernünk a forgástengelyt. A skalár tehetetlenségi nyomatékot gyakran egyszerűen „tehetetlenségi nyomatéknak” nevezik. Nem szabad összetéveszteni a tehetetlenségi nyomatékot a (síkidomok) másodrendű nyomatékával, melyet azonos módon -vel jelölnek. A legegyszerűbben a mértékegységek alapján lehet őket egymástól megkülönböztetni.
Hasonlóképpen a tehetetlenségi nyomatékot nem szabad összekeverni a poláris másodrendű nyomatékkal, mely egy rúd csavarással szembeni ellenállásának mértéke.
Definíció Egy tengely körül forgó tömegpont skalár tehetetlenségi nyomatékát az
definiálja, ahol a tömege és a forgástengelytől mért távolsága
A tehetetlenségi nyomaték additív, így egy darab tömegű, a forgástengelytől egyenként sugáron elhelyezett tömegpontból álló merev test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő a tömegpontok tehetetlenségi nyomatékainak összegével
Folytonos sűrűségű merev test ismert forgástengelyre vett tehetetlenségi nyomatékát a tömegpontok tehetetlenségi nyomatékának integrálásával számíthatjuk ki:
ahol a test térfogata, a forgástengelytől mért távolság, a tömeg, a térfogat, a test pontszerű sűrűségének függvénye és , , a derékszögű koordináták.
Közelítő képletek Egyes nem pontszerű testek tehetetlenségi nyomatékát közelíteni lehet a következő egyszerű képlettel:
ahol a testre jellemző tényező, a test tömege és a test sugara a forgástengelytől mérve.
A tényező értéke attól függ, milyen a test alakja, az sugár pedig a test legtávolabbi pontjának távolsága a forgástengelytől. Például:
– vékony gyűrű vagy vékony falú henger geometriai tengelye körül forgatva – tömör gömb geometriai tengelye körül forgatva Más nem pontszerű testeknél a képlet:
ahol a testre jellemző tényező, a test tömege és a test átmérője. A tényező értéke attól függ, milyen a test alakja, az átmérő pedig a test két legtávolabbi pontjának távolsága. Például: – vékony rúd a súlypontján átmenő, a hosszára merőleges tengely körül forgatva – vékony rúd egyik végpontján átmenő tengely körül forgatva
Ezek alapján néhány homogén test tehetetlenségi nyomatéka +TestTengelyKörhengerszimmetriatengelyerre merőleges tengelyÜres körhengerszimmetriatengelyDerékszögű egyenes hasába c éllel párhuzamos tengelyKockasúlyponttengelyGömbsúlyponttengelyGömbhéjsúlyponttengelyEllipszoidc tengelyEgyenes körkúpszimmetriatengely
Megfeleltetés a haladó és forgó mozgások között
Párhuzamos tengelyek tétele Ha a tehetetlenségi nyomaték egy, a tömegközépponton átmenő tengelyre vonatkozólag ismert, akkor ezzel párhuzamos tengelyre könnyen kiszámítható. Ha az új tengely távolságra van a tömegközépponton átmenő tengelytől (például egy tárcsa tehetetlenségi nyomatéka a palástjára illeszkedő tengely körül), az erre számított tehetetlenségi nyomaték:
ahol a merev test tömege, az új tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték, a tömegközépponton áthaladó tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték és a tengely távolsága a tömegközépponton átmenő tengelytől.
Ezt a tételt Steiner-tételnek, vagy az angolszász irodalomban Huygens-Steiner-tételnek is nevezik.
Mozgási energia A rendszer mozgási energiáját a tehetetlenségével lehet kifejezni. számú, egyenként tömeggel rendelkező, sebességű pont mozgási energiája egyenlő:
Egy merev testre, mely szögsebességgel forog, a sebességek így írhatók:
(omega dimenziója: rad/sec) ahol ismét a tömegpont tengelytől mért távolsága. Ezzel a mozgási energia így írható:
És végül a végképletre írható:
Impulzusmomentum és nyomaték Egy tömegpontokból álló rendszer impulzusmomentumát a impulzusából és a tömegpontnak a forgástengelytől számított távolságából a következőképpen lehet kiszámítani:
Az egységvektorral jellemzett forgástengely körül szögsebességgel forgó merev test tetszőleges pontjának sebességvektorára írható a következő vektoriális szorzat:
ahol a szögsebességvektor és a forgástengelyt a tömegponttal összekötő legrövidebb vektor.
Behelyettesítve a összefüggését az definíciójába:
ahol felhasználtuk azt, hogy az vektorok merőlegesek a forgástengelyre (például egy lendkeréknél): .
Az nyomaték az impulzusmomentum változási sebessége:
Ha az tehetetlenségi nyomaték állandó (vagy azért, mert a fő tehetetlenségi nyomatékok egyenlőek vagy azért, mert a nyomaték az forgástengely körül forgatja a testet és így nem változik), írható:
ahol az úgynevezett szöggyorsulás az tengely körül.
Megjegyezzük, ha nem állandó a külső koordináta-rendszerben (vagyis a szabad tengellyel rendelkező rendszer fő tehetetlenségi nyomatékai nem egyenlőek), a tehetetlenségi nyomatékot nem lehet a deriváltból kiemelni. Ez az eset a nyomatékmentes szabad precesszió.
Tehetetlenségi nyomaték tenzor Ugyanannak a testnek a különböző tengelyekre vett tehetetlenségi nyomatéka különböző. Például a három derékszöget bezáró (, és ) koordinátatengelyre vett tehetetlenségi nyomatéka
az tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,
az tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,
a tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,
nem biztos, hogy egyenlőek, hacsak a test nem szimmetrikus minden tengelyre. A tehetetlenségi nyomaték tenzor segítségével kényelmesen foglalhatjuk egy mennyiségbe egy test összes tehetetlenségi nyomatékát.
Definíció Egy merev test darab tömegpontjának tehetetlenségi tenzora az alábbi alakú:
.
Elemei az alábbiak szerint definiálhatók:
, , , , és
derékszögű koordinátákra, ahol az origó a test súlypontjában van. Itt jelöli az -tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékot, ha a test az -tengely körül forog, jelöli az -tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékot, ha a test az -tengely körül forog, és így tovább.
Ezeket a mennyiségeket általánosítani lehet folytonos tömegeloszlású testekre is, hasonlóan a skalár tehetetlenségi nyomatékhoz. Írható:
ahol és a 3 x 3 egységmátrix.
Redukció skalár alakra Az skalár bármely tengelyre a tenzorból számítható kétszeres skalárszorzat segítségével:
ahol az összegezés a három derékszögű koordinátára terjed ki.
Fő tehetetlenségi nyomatékok Mivel a tenzor valós, szimmetrikus mátrix, található olyan derékszögű koordináta-rendszer, melyben diagonálmátrix lesz, vagyis ilyen alakú:
ahol a koordinátatengelyeket tehetetlenségi főtengelynek hívják és a , és állandókat pedig fő tehetetlenségi nyomatékoknak és általában növekvő sorrendbe rendezik:
A főtengelyek irányába eső egységvektorokat általában így jelölik: .
Ha mindhárom fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő, akkor bármilyen irányú súlyponton átfektetett tengely tehetetlenségi főtengely.
A főtengelyek gyakran esnek a test szimmetriatengelyeire.
Ha egy merev test egy tengelyre -ed rendű szimmetriával rendelkezik, vagyis szimmetrikus forgatások alatt egy tengelyre, a szimmetriatengely főtengely. Ha , akkor két fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő. Ha a merev testnek van legalább két szimmetriatengelye, mely nem merőleges egymásra, akkor mindhárom fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő, például a kocka ilyen (vagy bármely más szabályos test).
Steiner-tétel Ha a tehetetlenségi tenzor ismert a súlypontra, hasznos módszer a Steiner-tétellel kiszámítani a súlyponttól eltérő tengelyekre. Ha a forgástengelyt helyvektorral eltoljuk a súlyponti tengelytől, az új tehetetlenségi tenzor egyenlő:
ahol a merev test tömege és a Kronecker-delta-függvény.
Más mechanikai mennyiségek A tenzor segítségével a mozgási energia kétszeres skalárszorzatként írható:
az impulzusmomentum pedig egyszeres skalárszorzatként:
A fentiek segítségével a mozgási energia az impulzusmomentum függvényében írható fel a főtengelyek koordináta-rendszerében:
ahol
-re.
Meghatározása méréssel A műszaki gyakorlatban néha szükség van ismeretlen tömegeloszlású testek tehetetlenségi nyomatékának meghatározására. Ehhez először meg kell határozni a merev test tömegközéppontjának helyét. Ezután a testet fel kell függeszteni és ki kell mozdítani nyugalmi helyzetéből. A test fizikai ingaként lengésbe jön. A lengésidőből, a tömegközéppontnak a felfüggesztési ponttól mért távolságából és a test tömegéből a tehetetlenségi nyomaték kiszámítható:
Lásd még Tehetetlenségi nyomatékok listája Tehetetlenségi tenzorok listája Nyomaték Forgási energia Merev test Merev forgórész
Források Muttnyánszky Ádám: Kinematika és kinetika. Tankönyvkiadó, Budapest 1957. Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961. Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. (hardcover) and (softcover). Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley.
Jegyzetek
Külső hivatkozások Mechanika Tehetetlenségi nyomatékok táblázata (angol) Tehetetlenségi nyomaték és perdület a sulineten A tehetetlenségi tenzor (angol)
Kategória:Fizikai mennyiségek Kategória:Klasszikus mechanika