Nella teoria dei numeri, la somma di Ramanujan, in genere indicata con la notazione , è una funzione di due variabili intere q ed n nella formula
dove indica il massimo comune divisore di e e gli addendi nella somma sono potenza di una delle radici dell'unità complesse.
Srinivasa Ramanujan trattò per la prima volta questa formula all'interno di appunti scritti nel 1918.Ramanujan, On Certain Trigonometric Sums...
(Papers, pag. 179). In un nota a piè di pagina cita pag. 360–370 del Vorlesungen über Zahlentheorie di Dirichlet e Dedekind, 4 ed. Oltre alle estensioni prese in esame in questo articolo, la somma di Ramanujan è utilizzata anche nella dimostrazione del teorema di Vinogradov, secondo il quale ogni numero dispari sufficientemente grande è la somma di tre numeri primi.Nathanson, cap. 8
Applicazioni La premessa di base delle somme di Ramunujan è la loro moltiplicatività
se (e è ora la somma di Ramunujan).
Tramite la funzione di Möbius , si ha
Molte delle funzioni moltiplicative a variabile intera possono essere disposte in righe su È vero anche il viceversa.
La proprietà di base (moltiplicativa) delle somme di Ramanujan permette di calcolare somme della forma:
dove è una funzione moltiplicativa, un numero intero, un numero complesso.
Nel caso più semplice, si ottiene
dove è la funzione zeta di Riemann.
Formule per cq(n) Trigonometria Queste formule discendono dalla formula di Eulero e da alcune elementari identità di trigonometria.
Dalla formula risulta che è sempre reale.
Kluyver Sia allora ζq è una radice dell'equazione xq − 1 0. Ciascuna delle sue potenze ζq, ζq2, ... ζqq = ζq0 = 1, è anch'essa una radice dell'equazione. I numeri ζqn dove 1 ≤ n ≤ q, sono dette la q-esima radice dell'unità.
ζq è nota come la q-esima radice dell'unità primitiva perché q è il più piccolo valore d n che rende ζqn = 1. L'altra radice dell'unità q-esima primitiva sono i numeri ζqa, dove Pertanto, esistono φ(q) radici dell'unità -esime primitive.
Possiamo dire che la somma di Ramanujan è la somma delle -esime potenze della radice dell'unità -esima primitiva.
È un fatto che le potenze di ζq sono esattamente le radici primitive per tutti i divisori di Hardy & Wright, teoremi 65 e 66
Esempio. Sia Allora ζ12, ζ125, ζ127 e ζ1211 sono le dodicesime radici dell'unità primitive,
ζ122 e ζ1210 sono le seste radici dell'unità primitive,
ζ124 e ζ128 sono le quarte radici dell'unità primitive,
ζ126 = −1 sono le seconde radici dell'unità primitive,
ζ1212 = 1 è la prima radice dell'unità primitiva.
Quindi, se
è la somma delle -esime potenze di tutte le radici primitive e non primitive, allora si ha
e, per la formula di inversione di Möbius,
Dalla identità xq − 1 = (x − 1)(xq−1 + xq−2 + ... + x + 1) , segue che
e ciò conduce alla formula
pubblicata da Kluyver nel 1906.G. H. Hardy, P. V. Seshu Aiyar, & B. M. Wilson, note su On certain trigonometrical sums ..., Ramanujan, Papers, pag. 343J. C. Kluyver. Some formulae concerning the integers less than and prime to Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences (KNAW), 9(1):408–414, 1906.
Ciò mostra che è sempre un intero. Si confronti con la formula
Von Sterneck Dalla definizione è facile dimostrare che è una funzione moltiplicativa quando la si considera una funzione di q per un valore di n fissato.Schwarz & Spilken (1994) pag. 16 Ad esempio
Dalla definizione (o dalla formula di Kluyver) è immediato dimostrare che, se è un numero primo, allora
e che, se pk è una potenza di un primo con k > 1, allora
Questo risultato e la proprietà moltiplicativa possono essere usati per dimostrare che
nota come la funzione aritmetica di von Sterneck.B. Berndt, commentario a On certain trigonometrical sums..., Ramanujan, Papers, pag. 371 L'equivalenza fra questa e la somma di Ramanujan fu dimostrata da Hölder.Knopfmacher, pag. 196Hardy & Wright, pag. 243
Altre proprietà di cq(n) Per ogni q intero positivo, si ha
Per un valore fissato di q, il valore assoluto della successione cq(1), cq(2), ... è limitato da φ(q), e
per un valore fissato di n, il valore assoluto della successione c1(n), c2(n), ... è limitato da n.
Se q > 1, allora
Sia m1, m2 > 0, m = lcm(m1, m2). AlloraTóth, external links, eq. 6, la somma di Ramanujan soddisfa la proprietà di ortogonalità:
Sia k > 0. AlloraTóth, external links, eq. 17.
nota come l'identità di Brauer-Rademacher.
Se n > 0 e a è intero, si ha anche cheTóth, external links, eq. 8.
scoperta da Cohen.
Sviluppi di Ramanujan Sia una funzione aritmetica (ad esempio una funzione a valori complessi dei numeri interi o dei numeri naturali), allora una serie infinita convergente nella forma
dove , è chiamata sviluppo di RamanujanB. Berndt, commentario a On certain trigonometrical sums..., Ramanujan, Papers, pag. 369–371 di
Ramanujan trovò sviluppi per alcune delle più note funzioni nella teoria dei numeri. Tutti questi risultati teorici vengono dimostrati con una tecnologia matematica elementare (ad esempio utilizzando manipolazioni formali delle serie oppure i risultati riguardo alla convergenza)Ramanujan, On certain trigonometrical sums...
(Papers, pag. 179)La teoria delle serie formali di Dirichlet è discussa in Hardy & Wright, § 17.6 e in Knopfmacher.Knopfmacher, cap. 7, discute gli sviluppi di Ramanujan come un tipo di sviluppo di Fourier in uno spazio vettoriale con prodotto scalare che ha i cq come base ortogonale.
Lo sviluppo della funzione zero dipende da un risultato della teoria analitica dei numeri primi, e precisamente dal fatto che la serie
converge a 0, mentre per r(n) e r′(n) dipende da teoremi in uno scritto precedente.Ramanujan, On Certain Arithmetical Functions
Tutte le formule riportate in questo paragrafo sono relative all'articolo di Ramanujan del 1918.
In particolare, per reale, si ottiene la serie di Dirichlet
dove σ è la funzione sigma e ζ è la funzione zeta di Riemann. Per s = 1 e s = 2, essa diventa
e
rispettivamente.
Altre identità ottenute da Ramanujan sono:
e
dove r2(n) è il numero di rappresentazioni di n nella forma x2 + y2 (con x, y interi).
Funzione generatrice Le funzioni generatrici delle somme di Ramanujan sono serie di Dirichlet:
è la funzione generatrice della successione cq(1), cq(2), ... dove q è una costante data, e
è la funzione generatrice della successione c1(n), c2(n), ... dove n è una costante data.
Si ha inoltre la doppia serie di Dirichlet
σk(n) La funzione σk(n) è la funzione sigma (ossia la somma della -esime potenze dei divisori di n, inclusi 1 ed n). La funzione σ0(n), il numero dei divisori di n, è in genere scritto d(n) e σ1(n), la somma dei divosri di n, è in genere scritto come σ(n).
Se s > 0, allora
e
Ponendo s = 1, si ha
Se l'ipotesi di Riemann è vera, e allora
d(n) La funzione d(n) = σ0(n) è il numero di divisori di n, inclusi 1 ed n.
dove γ = 0,5772... è la costante di Eulero-Mascheroni.
φ(n) La funzione φ(n) è il numero di interi positivi minori di n e coprimi con n. Ramanujan definì una generalizzazione di essa, se
è la scomposizione di n in fattori di primi ed s un numero complesso, si ottiene
in modo tale che φ1(n) = φ(n) è la funzione di Eulero.Questa è la funzione toziente di Jordan, Js(n).
Egli dimostrò che
ed usò tale risultato per dimostrare che
e, ponendo s = 1,
Si noti che la costante è l'inversoCf. Hardy & Wright, Thm. 329, che afferma che di quella che compare nella formula per σ(n).
Zero Per ogni n > 0, si ha
che è equivalente al teorema dei numeri primi.Hardy, Ramanujan, pag. 141
r2s(n) (somma di quadrati perfetti) La funzione r2s(n) è il numero di modi possibili per rappresentare n come la somma di due numeri quadrati perfetti, conteggiando come differenti due diversi ordini degli addendi o segni (ad esempio r2(13) = 8, infatti 13 = (±2)2 + (±3)2 = (±3)2 + (±2)2.)
Ramanujan definì una funzione δ2s(n) e pubblicò un articolo in cui dimostrò che r2s(n) = δ2s(n) per s = 1, 2, 3, e 4. Per s > 4 dimostrò che δ2s(n) è una buona approssimazione per r2s(n).
s = 1 ha una formula particolare:
Nelle formule seguenti i segni si ripetono con una periodicità di 4.
Se s ≡ 0 (mod 4), si ha
Se s ≡ 2 (mod 4), si ha
Se s ≡ 1 (mod 4) e s > 1, si ha
Se s ≡ 3 (mod 4), si ha
e pertanto,
Tabella + Somma di Ramanujan cs(n) n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 3 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 4 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 5 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4 6 1 −1 −2 −1 1 2 1 −1 −2 −1 1 2 1 −1 −2 −1 1 2 1 −1 −2 −1 1 2 1 −1 −2 −1 1 2 7 −1 −1 −1 −1 −1 −1 6 −1 −1 −1 −1 −1 −1 6 −1 −1 −1 −1 −1 −1 6 −1 −1 −1 −1 −1 −1 6 −1 −1 8 0 0 0 −4 0 0 0 4 0 0 0 −4 0 0 0 4 0 0 0 −4 0 0 0 4 0 0 0 −4 0 0 9 0 0 −3 0 0 −3 0 0 6 0 0 −3 0 0 −3 0 0 6 0 0 −3 0 0 −3 0 0 6 0 0 −3 10 1 −1 1 −1 −4 −1 1 −1 1 4 1 −1 1 −1 −4 −1 1 −1 1 4 1 −1 1 −1 −4 −1 1 −1 1 4 11 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 10 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 10 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 12 0 2 0 −2 0 −4 0 −2 0 2 0 4 0 2 0 −2 0 −4 0 −2 0 2 0 4 0 2 0 −2 0 −4 13 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 12 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 12 −1 −1 −1 −1 14 1 −1 1 −1 1 −1 −6 −1 1 −1 1 −1 1 6 1 −1 1 −1 1 −1 −6 −1 1 −1 1 −1 1 6 1 −1 15 1 1 −2 1 −4 −2 1 1 −2 −4 1 −2 1 1 8 1 1 −2 1 −4 −2 1 1 −2 −4 1 −2 1 1 8 16 0 0 0 0 0 0 0 −8 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 −8 0 0 0 0 0 0 17 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 16 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 18 0 0 3 0 0 −3 0 0 −6 0 0 −3 0 0 3 0 0 6 0 0 3 0 0 −3 0 0 −6 0 0 −3 19 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 18 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 20 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 −8 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 8 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 −8 21 1 1 −2 1 1 −2 −6 1 −2 1 1 −2 1 −6 −2 1 1 −2 1 1 12 1 1 −2 1 1 −2 −6 1 −2 22 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −10 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 10 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 23 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 22 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 24 0 0 0 4 0 0 0 −4 0 0 0 −8 0 0 0 −4 0 0 0 4 0 0 0 8 0 0 0 4 0 0 25 0 0 0 0 −5 0 0 0 0 −5 0 0 0 0 −5 0 0 0 0 −5 0 0 0 0 20 0 0 0 0 −5 26 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −12 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 12 1 −1 1 −1 27 0 0 0 0 0 0 0 0 −9 0 0 0 0 0 0 0 0 −9 0 0 0 0 0 0 0 0 18 0 0 0 28 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 −12 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 12 0 2 29 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 28 −1 30 −1 1 2 1 4 −2 −1 1 2 −4 −1 −2 −1 1 −8 1 −1 −2 −1 −4 2 1 −1 −2 4 1 2 1 −1 8
Note
Bibliografia
Categoria:Teoria dei numeri