Nella teoria dei numeri, il teorema di Zsigmondy, che prende il nome da Karl Zsigmondy, afferma che se a > b > 0 sono interi coprimi, allora per ogni intero n ≥ 1, esiste un numero primo p (chiamato divisore primitivo primo) che divide an − bn, ma non divide ak − bk per tutti gli interi positivi k < n, con le seguenti eccezioni: n = 1, a − b = 1; an − bn = 1 il quale non ha divisori primi. n = 2, con a + b potenza di due; poiché a² - b² = (a + b)(a1 - b1) ed essendo a - b divisibile per 2, a² - b² non può contenere divisori primi diversi da quelli di a - b. n = 6, a = 2, b = 1; poiché , ma né 3 né 7 soddisfano la tesi del teorema; infatti, per k = 4, 3 divide , mentre, per k = 3, 7 divide . Questo teorema generalizza quello di Bang, il quale afferma che se n > 1 e n non è uguale a 6, allora 2n − 1 ha un divisore primo che non divide 2k − 1 per ogni k < n.
Analogamente, an + bn ha almeno un divisore primitivo primo con l'eccezione 23 + 13 = 9.
Il teorema di Zsigmondy è spesso utile, specialmente nella teoria dei gruppi, per dimostrare che vari gruppi hanno ordini distinti eccetto quando sono noti essere gli stessi.
Storia Il teorema è stato scoperto da Zsigmondy mentre lavorava a Vienna dal 1895 fino al 1925
Generalizzazioni Sia una successione di interi diversi da 0. L'insieme di Zsigmondy associato alla successione è l'insieme
L'insieme di Zsigmondy è dunque l'insieme degli indici tali che ogni numero primo che divide divide anche per qualche . Così il teorema di Zsigmondy implica che , e il teorema di Carmichael afferma che l'insieme Zsigmondy della successione di Fibonacci è , e quello della successione di Pell è . Nel 2001 Bilu, Hanrot, e VoutierY. Bilu, G. Hanrot, P.M. Voutier, Esistenza di divisori primitivi dei numeri di Lucas e Lehmer, J. Reine Angew. Math. 539 (2001), 75-122 hanno dimostrato che in generale, se è una successione di Lucas o una successione di Lehmer, allora . Le successioni di Lucas e Lehmer sono esempi di successioni di divisibilità.
È noto anche che se è una successione ellittica di divisibilità, allora l'insieme di Zsigmondy è finito.J.H. Silverman, Wieferich's criterion and the abc-conjecture, J. Number Theory 30 (1988), 226-237Tuttavia, il risultato è inefficace, nel senso che la prova non dà un esplicito limite superiore per l'elemento più grande in , anche se è possibile dare un effettivo limite superiore per il numero di elementi in .P. Ingram, J.H. Silverman, Uniform estimates for primitive divisors in elliptic divisibility sequences, Number theory, Analysis and 'Geometry, Springer-Verlag, 2010, 233-263.
Numeri di Mersenne Un caso specifico del teorema considera -esimo numero di Mersenne , dunque ogni numero , , , ... ha un numero primo nella fattorizzazione che non è presente nella fattorizzazione di un elemento precedente della successione, eccetto . Ad esempio , , , ... hanno i fattori 3, 7, 5, 31, (1), 127, 17, 73, 11, 23(89) , ... che non si presentano prima di . Questi fattori, talvolta, vengono chiamati numeri di Zsigmondy .
Note
Bibliografia
Voci correlate Numero primo Teorema di Carmichael Successione di Fibonacci Numeri di Mersenne Successione di Lucas
Collegamenti esterni
Categoria:Teoria dei numeri Categoria:Numeri primi