In geometria, una stella di piani propria è l'insieme degli infiniti piani che hanno in comune un solo punto, detto centro della stella. Per contro una stella di piani impropria è l'insieme degli infiniti piani paralleli a una retta assegnata r.
Equazione della stella di piani
L'equazione di una stella di piani corrisponde a quella di un piano, in cui i coefficienti dipendono da due parametri liberi di primo grado e ; ogni possibile valore della coppia di parametri determina un unico piano della stella.
.
È sempre possibile eseguire un raccoglimento parziale dei parametri in modo da separare l'equazione come segue:
i tre piani:
sono detti generatori della stella.
Il piano si ottiene per , mentre e , pur appartenendo alla stella, non sono ricavabili per alcun valore reale dei parametri, si possono solamente approssimare tramite i piani ottenuti per valori molto grandi di e .
A seconda della posizione reciproca dei tre piani generatori, si possono verificare diverse situazioni:
i tre piani si incontrano in un unico punto ; la stella è detta propria e tutti i piani che le appartengono passano per ;
i piani sono tutti paralleli ad una retta (pur incontrandosi a due a due): la stella è detta impropria e tutti i piani che le appartengono sono paralleli a ;
i piani sono paralleli fra di loro e hanno in comune la stessa normale: la stella è detta impropria e tutti piani che le appartengono sono paralleli fra di loro.
Combinazione lineare di piani
La definizione più generale di stella di piani utilizza due parametri reali proiettivi: la sua equazione è data dalla combinazione lineare delle equazioni dei tre piani generatori:
,
dove , e sono tre parametri reali non tutti nulli.
A differenza delle precedenti equazioni, quest'ultima contiene tutti i piani della stella. Ogni terna con lo stesso rapporto individua lo stesso fascio. Se, ad esempio, , possiamo utilizzare i due parametri e per caratterizzare il fascio. La terna di parametri si può allora considerare come un unico parametro nel piano proiettivo .
Altri insiemi ottenibili dalla stella di piani
fissando uno dei parametri liberi, si ottiene un fascio di piani; sezionando una stella di piani con un piano passante per il centro di tale stella, si ottiene un fascio di rette.
Voci correlate
Fascio di piani Stella di rette Fascio di rette Coordinate omogenee
Categoria:Geometria affine