La geometria del compasso è un trattato di Lorenzo Mascheroni, pubblicato a Pavia nel 1797. Tratta delle costruzioni geometriche da realizzarsi con il solo uso del compasso, escludendo l'altro strumento della geometria classica, ovvero la riga. L'insieme delle dimostrazioni contenute in quest'opera prova il seguente teorema: « Ogni problema risolvibile con riga e compasso è risolvibile anche con il solo compasso » I risultati di Mascheroni erano stati preceduti dal danese Jørgen Mohr, che li aveva esposti nel libro Euclides Danicus del 1672. Tale opera, pubblicata solo in danese e olandese, rimase per lo più sconosciuta. Riscoperta per caso in una libreria di Copenaghen nel 1928, fu subito ristampata in facsimile e poi tradotta in altre lingue. L'enunciato sopra riportato viene oggi chiamato quindi con il nome di teorema di Mohr-Mascheroni.
Scopo dell'opera Nella scrittura di questa opera, Mascheroni si fa guidare da considerazioni teoriche: ha ben presente che dai tempi della geometria classica, descritta negli Elementi di Euclide, sono stati aggiunti dai matematici molti argomenti, come le coniche, le curve di grado superiore al secondo, ecc.. Viceversa, nella prefazione al suo libro si domanda:
« Non potresti tu ritrocedere dagli Elementi, come da una linea di demarcazione, e cercar qualche cosa rimasta addietro a guisa di trascurata? È egli vero che i problemi elementari d'Euclide siano della più semplice costruzione? O non si potrebbe l'elemento matematico risolvere ne' suoi elementi fondamentali riga e compasso, a guisa di chi ha separata l'acqua in due arieMascheroni fa riferimento all'elettrolisi dell'acqua, scoperta pochi anni prima della stesura del suo libro, e qualche aria pure stimata semplice, in due sostanze? A questo punto m'avvidi, che non potendosi far uso della riga sola se non per condurre una retta; si poteva però forse far uso del solo compasso non solo per descrivere solamente un cerchio, o un arco di esso; ma descrivendone più con più centri, e con diverse aperture, trovare per via delle loro sezioni mutue più punti, che fossero utili, e appunto i cercati di posizione di qualche problema. »
Il secondo scopo che si prefigge Mascheroni nel pubblicare La geometria del compasso è rendere più facile e precisa la costruzione di apparecchiature di precisione, come i quadranti degli strumenti astronomici. Come spiega egli stesso, sempre nella prefazione al suo libro:
« Per accennare i vantaggi, che ha il compasso sopra la riga, qualora si tratti di una descrizione precisa di linee, che non debbano temere l'esame del microscopio, basta avvertire, che trattandosi specialmente d'una riga alquanto lunga, è quasi impossibile ch'ella sia così diritta, che ne garantisca per tutto il suo tratto della posizione a luogo de' punti, che in essa sono. E sia pur essa rettissima. Sanno i pratici, che il dovere strisciare lungo essa colla punta che segna, porta seco una incertezza di parallelismo nel moto dell'asse di questa punta, o di perfetto adattamento allo spigolo, che rende spesso inutile la sua massima precisione. A queste due difficoltà non va soggetto il compasso. Qualora esso sia fermo nell'apertura, e finissimo nelle punte; centratane una immobilmente, il che non è difficile, l'altra scorrendo segna da sé un arco così preciso ed esatto, che nulla più. »
In tutte le sue costruzioni geometriche, Mascheroni sceglie quindi di determinare i punti necessari usando, fra riga e compasso, solo quello strumento che garantisce la maggiore precisione possibile: i punti saranno sempre ottenuti come intersezioni fra archi di cerchio tracciati con il compasso. I tratti rettilinei necessari al completamento del disegno dovranno ovviamente essere tracciati con una riga; ma non avendo tali segmenti alcun ruolo nella determinazione dei punti, una mancanza di precisione nel loro disegno non si ripercuoterà sull'intera costruzione.
Il compasso di Euclide
Nei suoi Elementi, Euclide non parla mai né di riga né di compasso. Egli si riferisce solo a linee rette e circonferenze ideali, che traccia secondo i seguenti postulati: È possibile tracciare un segmento rettilineo fra qualunque coppia di punti Euclide, Elementi, Libro I, Postulato 1, letteralmente: « Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto » Un segmento rettilineo può essere esteso indefinitamente in una linea retta Euclide, Elementi, Libro I, Postulato 2, letteralmente: « E che una retta terminata si possa prolungare continuamente in linea retta » È possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e qualsiasi raggio Euclide, Elementi, Libro I, Postulato 3, letteralmente: « E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro ed ogni distanza »
Nella pratica è cosa ovvia associare una riga (non graduata) ai primi due postulati, e il compasso al terzo. Bisogna fare attenzione però al fatto che non tutto ciò che può essere fatto con un compasso è "autorizzato" dal terzo postulato. Secondo quest'ultimo, il compasso dovrebbe essere utilizzato solo per tracciare un cerchio dati il centro e un punto sulla sua circonferenza; non dovrebbe invece essere utilizzato per trasportare una distanza da una parte all'altra del piano, semplicemente aprendolo e spostandolo conservandone l'apertura.
Negli Elementi di Euclide il trasporto delle distanze è una necessità irrinunciabile, infatti a questo problema sono dedicate le prime due Proposizioni del Libro IEuclide, Elementi, Libro I, Proposizione 1: « Su una retta terminata data costruire un triangolo equilatero »Euclide, Elementi, Libro I, Proposizione 2: « Applicare ad una retta data una retta uguale ad una retta data » (vedi l'animazione in figura 1). Euclide dimostra cioè che si può applicare la distanza al punto : congiungendo punti dati con segmenti rettilinei (primo postulato, linee di colore blu); prolungando gli stessi segmenti (secondo postulato, linee di colore ciano); tracciando archi di cerchio dati il centro e un punto della circonferenza (terzo postulato, linee di colore verde). Alla fine dell'animazione, tutti i punti appartenenti alla circonferenza rossa disteranno da quanto dista da
L'uso comune, di trasportare distanze mantenendo invariata l'apertura del compasso a cavallo di un suo spostamento, è quindi una scorciatoia ammessa in geometria, ma solo perché si sa che tale procedimento è la semplificazione di un metodo più rigoroso: proprio quello descritto da Euclide.
I Compassi ad apertura fissa di Mascheroni
A differenza di Euclide, Mascheroni non ha uno scopo teorico, bensì pratico. Per trasportare le distanze non applica il metodo descritto da Euclide, per due motivi: esso richiede l'uso della riga, che Mascheroni vuole evitare; la quantità di passaggi necessari è tale da moltiplicare gli errori, invece di minimizzarli.
Mascheroni si sente quindi libero di usare il compasso per trasportare distanze, ma non solo: incoraggia la realizzazione di vari compassi ad apertura fissa« ... sapendo la molestia e il pericolo d'errare, che nasce dall'allargare e stringere il compasso a varie aperture precise; noi procureremo di sciogliere i problemi col minimo numero possibile di aperture di compasso. Sarà anche meglio avere in pronto tali compassi fedeli, come li chiamano, ossia tali, che uno si possa assicurare, che conservino appunto l'apertura data; quante sono le aperture, che richiede la soluzione del problema. poiché accadrà spesso, che dovremo adoperar più volte la stessa apertura dopo averne adoperata una o più altre; così senza allargare o stringere un sol compasso, ripiglieremo quell'altro compasso messo da parte, che la conserva. ». Ad esempio, dovendo inscrivere in una circonferenza un qualche poligono regolare, suggerisce di costruirne quattro con le seguenti aperture prefissate: un primo compasso con apertura pari al raggio della circonferenza (coincidente con il lato dell'esagono regolare ivi inscritto); un compasso di apertura proporzionale al primo, in ragione del fattore (lato del quadrato inscritto nella circonferenza); un compasso di apertura proporzionale al primo, in ragione del fattore (lato del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza); un compasso di apertura proporzionale al primo, in ragione del fattore (lato del decagono regolare inscritto nella circonferenza).
Divisioni della circonferenza Le prime costruzioni affrontate da Mascheroni ne La geometria del compasso prevedono la divisione del cerchio in 240 parti di uguale lunghezza (nei paragrafi che seguono verranno mostrate solo le costruzioni principali), utilizzando il minor numero possibile di aperture del compasso, e il minor numero di punti non appartenenti alla circonferenza data.
Le costruzioni usano varie volte le Proposizioni di EuclideEuclide, Elementi, Libro III, Proposizione 26: « In cerchi uguali angoli uguali insistono su archi uguali, sia che essi siano angoli al centro o alla circonferenza »Euclide, Elementi, Libro III, Proposizione 27: « In cerchi uguali angoli che insistano su archi uguali sono uguali fra loro, sia che essi siano al centro od alla circonferenza » secondo cui, in cerchi uguali, archi uguali insistono su corde uguali, e viceversa. La divisione della circonferenza in parti uguali coincide quindi con il problema di inscrivervi poligoni regolari dello stesso numero di lati.
Volendo costruire i compassi ad apertura fissa suggeriti da Mascheroni, il primo dovrà avere ampiezza uguale al raggio del cerchio da suddividere, ovvero quello in cui inscrivere i vari poligoni regolari.
Divisione in 6 parti
Dato un cerchio di centro e raggio (vedi figura 3), per inscrivere nello stesso cerchio un Esagono regolare seguendo il metodo di EuclideEuclide, Elementi, Libro IV, Proposizione 15: « Inscrivere in un cerchio dato un esagono equilatero ed equiangolo » bisogna: tracciare l'arco con centro in e raggio che interseca la circonferenza nei punti ed (questi punti, assieme ad sono i primi tre vertici dell'esagono); prolungare i segmenti ed fino ad incontrare la circonferenza rispettivamente in : sono i vertici dell'esagono regolare inscritto nella circonferenza.
Mascheroni non può fare uso della riga, quindi descrive un metodo alternativo: tracciare l'arco con centro in e raggio come indicato da Euclide; tracciare altri tre archi di raggio : il primo con centro in e tale da intersecare la circonferenza in il secondo con centro in per determinare il terzo in per determinare Infatti: tutti i triangoli che hanno un vertice nel centro O del cerchio sono equilateri; i loro angoli in sottendono archi di lunghezza uguale a un sesto della circonferenza. Si ricorda che lo scopo di Mascheroni è determinare i vertici dell'esagono, non di tracciarne i lati. Nel disegno infatti tutti i segmenti rettilinei, a parte il raggio sono tratteggiati; e il punto che con l'uso del solo compasso non è stato effettivamente determinato, è indicato solo allo scopo di agevolare la comprensione di quanto segue.
Con questa costruzione si ottengono alcuni risultati aggiuntivi, che verranno sfruttati in molte delle costruzioni che seguono: il punto è allineato al segmento per cui : questo è il sistema usato da Mascheroni per raddoppiare la lunghezza di un segmento senza fare uso della riga (iterando lo stesso sistema, un segmento potrà essere anche triplicato, quadruplicato, ecc.); il punto è la seconda estremità del diametro del cerchio centrato in e di raggio le terne di punti e definiscono i vertici di due triangoli equilateri inscritti nello stesso cerchio; il segmento ha lunghezza doppia rispetto all'altezza del triangolo equilatero quindi vale la proporzione:
Volendo costruire i compassi ad apertura fissa suggeriti da Mascheroni, quello di ampiezza pari a volte la lunghezza del raggio dovrà essere calibrato sulla distanza fra i punti ed oppure e oppure qualsiasi altra diagonale dell'esagono non passante per il centro del cerchio.
Divisione in 4 parti